[論文レビュー] Generalizations of two-stack-sortable permutations

Dapeng Xu|ArXiv.org|Sep 23, 2002

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、2スタック整列可能順列を $r$-順列に一般化し、Zeilberger風の因数分解を用いて、降順数で数え上げる2スタック整列可能 $k$-tuple $r$-順列の母関数に関する関数方程式を導入する。解法により、このような順列の数に対する明示的公式が得られ、古典的なスタック整列に関する結果が、パターン回避や対称関数論への応用を含む多重集合順列へと拡張される。

ABSTRACT

In this thesis, we apply the stack sorting operator to $r$-permutations and construct the functional equation for the generating function of two-stack-sortable $k$-tuple $r$-permutations counted by descents by using a factorization similar to Zeilberger's. We solve the functional equation and give explicit formulas for the number of two-stack-sortable $r$-permutations.

研究の動機と目的

• スタック整列可能順列の理論を、各要素が $r$ 回ずつ現れる $r$-順列へと拡張すること。
• 降順数で数える2スタック整列可能 $k$-tuple $r$-順列の関数方程式を用いた列挙。
• Westによる2スタック整列可能順列の特徴付けを $r$-順列設定に一般化すること。
• 多重集合順列の文脈において、スタック整列、パターン回避、対称関数との関係を調査すること。

提案手法

• 最大要素の位置に基づく因数分解法を導入することで、Zeilbergerの関数方程式アプローチを $r$-順列に適応する。
• 再帰的分解を用いて、2スタック整列可能 $k$-tuple $r$-順列の母関数に関する関数方程式を導出する。
• 多変数Lagrange逆行列を適用して母関数から係数を抽出し、明示的公式を得る。
• 子の型が無限に存在しうる木構造をモデル化するため、初等対称関数の代わりに完全同次対称関数を導入する修正を提示する。
• 生成関数 $G$ と $F$ を $G = 1 + zFG$ および $f_k = \sum_{j=0}^\infty g_{k+j} h_j(x)$ で定義し、組合せ的構造をモデル化する。
• 置換 $x_i = \frac{y_i(1 - y_i)}{H^2(y)}$ を用いて修正された関数方程式を解き、$G$ と $F$ の閉形式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2スタック整列可能順列の概念を、各要素が $r$ 回ずつ現れる $r$-順列にどのように一般化できるか？
• RQ2 降順数で数える2スタック整列可能 $k$-tuple $r$-順列の母関数を支配する関数方程式は何か？
• RQ3 $r$-順列の構造が、2スタック整列可能性のためのパターン回避条件にどのように影響するか？
• RQ4 $r$-順列における関数方程式を明示的に解けるか？その解が閉形式で得られるか？
• RQ5 初等対称関数を完全同次対称関数に置き換えると、関数方程式の解構造にどのような影響が生じるか？

主な発見

• 2スタック整列可能 $r$-順列の数は、$n = 1 + \sum k_i$ として、$\frac{1}{n^2} \prod_{i=0}^{r} \frac{n}{n + k_i} \binom{2n + 2k_i}{k_i}$ で与えられる。
• 多変数Lagrange逆行列を用いて明示的母関数解が得られ、このような順列の数に対する閉形式表現が得られる。
• 完全同次対称関数を用いた修正された関数方程式は、$H(y)$ を含む新たな解形を導く。$G = \frac{c(t)H(y)}{H(y,c(t))}$ および $F = \frac{H(y)}{t}\left(H(y) - \frac{H(y,c(t))}{c(t)}\right)$ となる。
• 解は双対性を示す：$A(-n; k_0, \dots, k_r) = (-1)^{n-1} B(n; k_0, \dots, k_r)$ であり、負のインデックスと正のインデックスのケースを結びつける。
• 関数方程式の枠組みは、$t$-スタック整列可能 $\mu$-tuple 順列へと一般化可能であるが、$t \geq 3$ では解くことが依然として困難である。
• 2スタック整列可能順列の特徴付けは、禁止パターンを用いて $r$-順列へと拡張される：2341 または 3241 型の部分列で、35241 の一部でないものはない。