[論文レビュー] Generalize Heisenberg Groups and Self-Duality

Marco Bonatto, Dikran Dikranjan|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2016

Advanced Topology and Set Theory参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、中心が円周群 𝕋 に同型である局所コンパクト Mumford 群と一般化ヘイゼンベルク群の間の正確な対応関係を確立し、これらの条件下でそれらがちょうど Mackey-Weil 群に一致することを示している。また、有限群上のシンプレクティック自己双対性がこのような群に引き上げられることを証明し、コhomological 条件を用いて Mumford 群が一般化ヘイゼンベルク群でない場合の条件を同定している。

ABSTRACT

This paper compares two generalizations of Heisenberg groups and studies their connection to one of the major open problems in the field of locally compact abelian groups, namely the description of the self-dual locally compact abelian groups ([12]). The first generalization is presented by the so called generalized Heisenberg groups $\mathbb{H}(ω)$, defined in analogy with the classical Heisenberg group and the second one is inspired by the construction proposed by Mumford in [16] and named after him as Weyl-Mumford groups (WM groups). These two families can be defined also in the framework of topological groups. We investigate the relationship between locally compact WM groups, locally compact Generalized Heisenberg with center isomorphic to $\mathbb{T}$ and symplectic self-dualities.

研究の動機と目的

• 一般化ヘイゼンベルク群 ℍ(ω) と Mumford 群の二つのヘイゼンベルク群の一般化の間の関係を明確化すること。
• 中心が 𝕋 に同型である局所コンパクト Mumford 群が一般化ヘイゼンベルク群に同型となる条件を調査すること。
• 局所コンパクトアーベル群の自己双対性を分類する未解決問題を、シンプレクティック自己双対性と群の拡大に結びつけること。
• 中心が 𝕋 である Mumford 群が任意の一般化ヘイゼンベルク群に同型でない例が存在するかを、コhomological 障害を用いて特定すること。

提案手法

• 連続な双線形写像 ω: E × F → A を用いたアーベル群 E, F, A への中心拡大として、一般化ヘイゼンベルク群 ℍ(ω) を定義する。
• Mumford 群を、クラス 2 の冪零群で、Mumford 写像 M: G/Z(G) → Hom(G/Z(G), Z(G)) が位相的同型となるものとして定義する。
• 交換子写像とポントリャーギン双対性を用いて、K = G/Z(G) 上のシンプレクティック自己双対性 ∇ と、位相的 Mumford 写像 M_t の間の標準的同型を確立する。
• コhomological 手法を用い、M_t(x)(y) = −γ(x,−x) − γ(y,−y) + γ(−x,−y) + γ(x,y) + γ(−x−y,x+y) という公式により、M_t を連続コサイクル γ: K × K → 𝕋 で表現する。
• φ: A × Â → K が同型で、φ(x,f) = x, φ(y,g) = y のとき ∇(x)(y) = g(x) − f(y) を満たすような、標準的自己双対性 (K, ∇) を特徴付ける。
• 文献 [22] の結果を応用し、すべての有限シンプレクティック自己双対性が一般化ヘイゼンベルク群から生じることを示し、これにより一般化ヘイゼンベルク群でない Mumford 群の構成を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心が 𝕋 に同型である局所コンパクト Mumford 群 G が一般化ヘイゼンベルク群 ℍ(ω) に同型となるのはいつか？
• RQ2 局所コンパクトアーベル群 K 上のシンプレクティック自己双対性 (K, ∇) は、Z(G) ≅ 𝕋 を満たす局所コンパクト群 G の位相的 Mumford 写像として常に生じるか？
• RQ3 中心が 𝕋 である Mumford 群で、任意の一般化ヘイゼンベルク群に同型でないものはあるか？
• RQ4 コサイクル γ: K × K → 𝕋 に対して、関連する群拡大 G が M_t = ∇ を満たすためのコhomological 条件は何か？

主な発見

• 中心が 𝕋 に同型である局所コンパクト Mumford 群 G が一般化ヘイゼンベルク群に同型であるための必要十分条件は、位相的 Mumford 写像 M_t が K = G/Z(G) 上のシンプレクティック自己双対性であることである。
• 中心が 𝕋 である局所コンパクト Mumford 群で、一般化ヘイゼンベルク群であるもののクラスは、LCA 群 E に対する Mackey-Weil 群 ℍ(E) のクラスと完全に一致する。
• 有限群 K に対して、すべてのシンプレクティック自己双対性 (K, ∇) は一般化ヘイゼンベルク群の Mumford 写像として生じるため、このような群は 𝕋 を法とする K の拡大として存在する。
• 任意の LCA 群 A に対して K ≇ A × Â となるシンプレクティック自己双対性 (K, ∇) の存在は、一般化ヘイゼンベルク群でない中心が 𝕋 である Mumford 群の存在を示唆する。
• 中心が 𝕋 に同型である N₂ に属する群 G の Mumford 写像 M_t は、連続コサイクル γ を用いたコhomological 公式で与えられ、M_t = ∇ であるための必要十分条件は、コサイクルが特定の多項式恒等式を満たすことである。
• コhomological リフトを用いたこの構成により、質問 7.5 の答えが肯定的であるのは、質問 7.3 の答えが肯定的である場合に限るが、これにより非ヘイゼンベルク Mumford 群の新たなクラスが確認される。