[論文レビュー] Generalized adaptive partition-based method for two-stage stochastic linear programs : convergence and generalization

Maël Forcier, Vincent Leclère|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2021

Risk and Portfolio Optimization参考文献 17被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、固定リカourseを伴う2段階確率的線形計画問題に対して、双対許容集合の正規ファンを活用して、分割の適応に関する必要十分条件を提供する一般化された適応的分割に基づく手法G2APMを提案する。有限分布および連続分布の両方で収束を証明し、従来のAPM手法を拡張し、追加計算コストなしに収束する上界を提供する。数値結果では、Prod-MixおよびCVaRを含むベンチマーク問題において、きわめてタイトな境界が得られている。

ABSTRACT

Adaptive Partition-based Methods (APM) are numerical methods to solve two-stage stochastic linear problems (2SLP). The core idea is to iteratively construct an adapted partition of the space of alea in order to aggregate scenarios while conserving the true value of the cost-to-go for the current first-stage control. Relying on the normal fan of the dual admissible set, we extend the classical and generalized APM method by i) extending the method to almost arbitrary 2SLP, ii) giving a necessary and sufficient condition for a partition to be adapted even for non-finite distribution, and iii) proving the convergence of the method. We give some additional insights by linking APM to the L-shaped algorithm.

研究の動機と目的

• 連続分布および固定リカースを伴う一般化された2段階確率的線形計画問題に、適応的分割に基づく手法（APM）を拡張すること。
• 双対許容集合の正規ファンを用いて、分割が適応されているかどうかの必要十分条件を確立すること。
• 有限分布および連続分布の両方に対して、一般化手法（G2APM）の収束を証明すること。
• 追加の計算コストなしに、期待される後段コスト関数の収束する上界を提供すること。
• 接線錐を用いた共通の幾何的解釈を通じて、APM、GAPM、およびL字型法を統一すること。

提案手法

• 本手法は、双対許容集合 D の正規ファンを用いて、1段階意思決定 x に対して分割が適応されているかどうかの必要十分条件を定義する。
• 期待される後段コストを、各領域で確率的ベクトル ξ の条件付き期待値を用いて分割領域ごとに合算する形で定式化する。
• 反復的に、双対正規コーンに基づいて領域を分割することで、集約されたリカースコストが真の期待される後段コストto-goと一致するようにする。
• 多面体幾何学と polymake における H/V-表現を用いて、条件付き期待値、確率、および再分割を同時に計算する。
• 次元が低い場合に二重記述問題を回避するために、技術行列 T を固定することで、分割コーンの効率的な V-表現を可能にする。
• APM、GAPM、L字型法を、切り捨て平面ではなく正確な接線錐による期待後段コストの近似として解釈することで、収束の証明を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続分布を伴う一般化された2段階確率的線形計画問題に対して、分割の適応に関する必要十分条件を導出できるか？
• RQ2 適応的分割に基づく手法を、有限サポート分布および固定技術行列を超えて一般化できるか？
• RQ3 G2APM手法とL字型法との間には、近似戦略および収束性においてどのような関係があるか？
• RQ4 追加計算コストなしに、最適値の収束する上界を提供できるか？
• RQ5 連続確率変数を伴うベンチマーク問題におけるG2APMの計算複雑性および実用的性能はいかがなものか？

主な発見

• G2APMは、固定リカースおよび一般連続分布を伴う2段階確率的線形計画問題に対して収束を証明し、従来のAPMおよびGAPM手法を拡張した。
• 双対許容集合の正規ファンに基づく分割の適応に関する必要十分条件を確立した。この条件は、非有限分布に対しても有効である。
• Prod-Mix問題では、反復10回目で下界 −17711.56、上界 −17711.57 を達成し、ギャップが 0.01 と非常に高い精度を示している。
• 上界は反復ごとに更新され、単調に改善されるため、追加計算コストなしに収束する上界が得られる。
• 数値結果では、G2APMが従来手法を同等または上回り、10,000サンプルSAA（95%信頼区間: −17711 ± 2.2）と同等のタイトな境界を達成している。
• 本手法は、APM、GAPM、L字型法の間の幾何的関係を明らかにし、これらがすべて正確な接線錐による期待後段コストの近似を実行していることを示している。