[論文レビュー] Generalized almost periodic and generalized asymptotically almost periodic type functions in Lebesgue spaces with variable exponents $L^{p(x)}$

Toka Diagana, Marko Kostić|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2019

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、可変指数 $L^{p(x)}$ 空間における一般化されたほぼ周期的関数および漸近的ほぼ周期的関数を導入し、古典的なほぼ周期性を拡張する新しいクラスの $S^{p(x)}$-ほぼ周期的関数 $S^{p(x)}$ を確立する。著者らはこれらの関数の主要な性質を証明し、バナッハ空間における抽象的ボルテラ積分微分方程式および分数階微分方程式の解の存在および定性的な挙動の証明に応用する。

ABSTRACT

In the paper under review, we introduce the notions of various types of generalized (asymptotical) almost periodicity with variable exponents. We define and thoroughly analyze an important subclass of (asymptotically) Stepanov almost periodic functions which contains all (asymptotically) almost periodic functions. We provide a great number of relevant applications to abstract Volterra integro-differential equations in Banach spaces.

研究の動機と目的

• 可変指数ルベーグ空間 $L^{p(x)}$ におけるほぼ周期的関数の理論を拡張すること。
• 新しいクラスの $S^{p(x)}$-ほぼ周期的関数および漸近的 $S^{p(x)}$-ほぼ周期的関数を定義し、分析すること。
• バナッハ空間における抽象的ボルテラ積分微分方程式および分数階微分方程式の解の存在および有界性を保証する十分条件を確立すること。
• 可変指数を組み込み、$L^{p(x)}$-枠組みへの適用可能性を証明することで、既知のほぼ周期性に関する結果を一般化すること。

提案手法

• 可変指数 $p(x)$ を用いた $[0,1]$ 上のステパノフ型ノルムを用いて $S^{p(x)}$-ほぼ周期的関数を定義する。
• $S^{p(x)}$-ほぼ周期的関数が古典的 $S^p$-ほぼ周期的関数を一般化し、すべてのほぼ周期的関数を含むことを証明する。
• $1/p(x) + 1/q(x) = 1$ を満たす $L^{q(x)}[0,1]$ 上のリゾルベント族 $(R(t))_{t>0}$ の畳み込み構造および性質を利用する。
• 一般化された関数空間枠組みを用いて、積分方程式を通じて抽象的コーシー問題の弱解を分析する。
• 摂動項の収束条件を $L^{r_1(x)}[0,1]$ および $L^{r_2(x)}[0,1]$ で確立し、漸近的挙動を保証する。
• 多価線形作用素および退化するリゾルベント族の理論を活用して、抽象的微分包含をモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可変指数ルベーグ空間 $L^{p(x)}$ の関数に対して、ほぼ周期性の概念をどのように一般化できるか。
• RQ2 $S^{p(x)}$-ほぼ周期的関数と古典的 $S^p$-ほぼ周期的関数との関係は何か。
• RQ3 抽象的ボルテラ積分微分方程式の解が $S^{p(x)}$-意味で漸近的ほぼ周期的であるための条件は何か。
• RQ4 この理論は、カプートやヴェイル＝リウヴィル微分を有する分数階微分方程式に応用可能か。
• RQ5 リゾルベント族を含む畳み込み積分の、可変指数ノルムにおける収束条件は何か。

主な発見

• 任意のほぼ周期的関数は、任意の $p(x) \in \mathcal{P}([0,1])$ に対して $S^{p(x)}$-ほぼ周期的であり、任意の $S^{p(x)}$-ほぼ周期的関数はステパノフ 1-ほぼ周期的である。
• $H(t) = \int_0^t R(t-s)f(s)\,ds$ は、$R(\cdot)$ および $q(s)$ の可積分性および減衰条件のもとで、$APS^{p(x)}(\mathbb{R}:X) + S^{r_1(x)}_0([0,\infty):X) + S^{r_2(x)}_0([0,\infty):X)$ に属し、適切に定義され、有界である。
• $\|T(\cdot)\|_{L^{q(x)}[0,1]} < \infty$ かつ $k \geq 1$ に対して $\|R(\cdot + k)\|_{L^{q(x)}[0,1]} \leq Me^{-ck}$ が成り立つとき、$\sum_{k=0}^\infty \|R(\cdot + k)\|_{L^{q(x)}[0,1]} < \infty$ が成り立ち、主な命題の適用が可能になる。
• $\gamma \in (0,1)$ のとき、リゾルベント族 $R_\gamma(t)$ は $\|R_\gamma(\cdot + k)\|_{L^{q(x)}[0,1]} \leq M_2 k^{-1-\gamma}$ を満たすので、$\sum_{k=0}^\infty \|R_\gamma(\cdot + k)\|_{L^{q(x)}[0,1]} < \infty$ が成り立ち、命題 5.1 の適用が可能になる。
• 分数緩和包含 (DFP)$_{f,\gamma}$ の弱解 $u(t) = S_\gamma(t)x_0 + \int_0^t R_\gamma(t-s)f(s)\,ds$ は適切に定義され、強制項 $f$ からの漸近的挙動を継承する。
• 命題 5.3 は [20, 命題 2.13] を可変指数に一般化し、$L^{p(x)}$-空間における有限畳み込み積の下で解のクラスが安定であることを示している。