[論文レビュー] Generalized analytic functions on generalized domains

Hans Vernaeve|ArXiv.org|Nov 10, 2008

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 12被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、コロンブオー代数の枠組みにおいて、一般化された領域における一般化された解析関数を導入し、$\widetilde{\mathbb{R}}^d$ の部分集合 $A$ に対して $\mathcal{G}(A)$ を定義し、$\widetilde{\mathbb{C}}$ 内の開球において鋭いノルムの下での解析性を特徴づけている。この枠組みにおいて、このような球上で正則な一般化関数に対する一意性定理を確立し、古典的一般化関数論で失われた性質を回復している。

ABSTRACT

We define the algebra of Colombeau generalized functions on a subset A of the space of d-dimensional generalized points. If the domain A is open, such generalized functions can be identified with pointwise maps from A into the ring of Colombeau generalized numbers. We study analyticity in these algebras, if the domain is an open subset of the complex generalized points. In particular, if the domain is an open ball for the sharp norm, we characterize analyticity and give a unicity theorem involving the values at generalized points.

研究の動機と目的

• 一般化された領域 $\widetilde{\mathbb{R}}^d$ および $\widetilde{\mathbb{C}}$ におけるコロンブオー一般化関数論を拡張すること。
• 複素平面 $\mathbb{C}$ の開領域における正則一般化関数に対して、古典的一般化関数論では成立しない一意性定理の欠如を解決すること。
• $\widetilde{\mathbb{C}}$ 内の開球において鋭いノルムの下での一般化関数の解析性を特徴づけること。
• このような球上で一般化された正則関数に対する一意性定理を確立し、古典的一意性の性質を回復すること。
• バナッハ $\widetilde{\mathbb{C}}$-代数におけるスペクトル半径の公式および一般化された積分論の基礎を提供すること。

提案手法

• $A \subseteq \widetilde{\mathbb{R}}^d$ における一般化関数の代数 $\widetilde{\mathcal{G}}(A)$ を定義し、$\widetilde{\mathcal{G}}(\widetilde{\Omega}_c)$ を用いて古典的コロンブオー代数 $\mathcal{G}(\Omega)$ を拡張する。
• $\widetilde{\mathbb{C}}$ 上の鋭い位相を、鋭いノルム $|\cdot|_e$ によって定義し、開球 $\{\tilde{z} \in \widetilde{\mathbb{C}} : |\tilde{z} - \tilde{z}_0|_e < r\}$ を定義する。
• 修正された一般化パスの定義（定義 4.5）を用いて、一般化パスを介した複素積分の一般化されたコーシー積分公式を確立する。
• 四つの同値条件（定理 4.20）を用いて、$\widetilde{\mathcal{G}}(A)$ 内の解析性を特徴づける。これには、べき級数展開とコーシー積分表示が含まれる。
• 一般化された正則関数のすべての導関数がその点で消えるならば関数は恒等的にゼロであるという一意性定理（命題 4.24）を証明する。
• カットオフとコーシー積分構成を用いて、内部的かつ鋭く有界な集合上での一般化関数の解析的代表元を構成する（命題 4.25）。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 鋭いノルムの下での $\widetilde{\mathbb{C}}$ 内の開球上で、正則一般化関数に対する一意性定理を一般化された領域で回復できるか。
• RQ2 一般化された領域上の一般化関数の解析性を複数の同値な方法でどのように特徴づけられるか。
• RQ3 従来の正則一般化関数が $\mathbb{C}$ の開領域 $\Omega \subseteq \mathbb{C}$ で一意性定理を満たさない理由は何か。一般化された領域の枠組みはこの問題をどのように解決するか。
• RQ4 鋭い位相と鋭いノルムが、一般化関数の設定において古典的解析的性質を回復する役割を果たす理由は何か。
• RQ5 一般化された領域上の一般化関数は、どのような条件下で解析的代表元をもつのか。

主な発見

• 鋭いノルムの下で $\widetilde{\mathbb{C}}$ 内の開球上で、一般化された正則関数に対する一意性定理が成り立つ：関数 $u$ のすべての導関数が点 $\tilde{z}_0$ で消えるならば、$u$ はその球全体で恒等的にゼロである。
• $\widetilde{\mathcal{G}}(A)$ 内のそのような球上での解析性は、四つの同値条件によって特徴づけられる：べき級数展開、コーシー公式による積分表示、ある点でのすべての導関数の消えること、および代表集合上で代表元の解析性。
• 古典的一般化関数論において、$\Omega \subseteq \mathbb{C}$ の開領域で一意性が成立しないのは、$\widetilde{\Omega}_c$ が収束円板の境界付近にあるためである。一般化された領域の枠組みは、これを避けるために全開球内での作業を行うことで、この問題を解消する。
• $A$ が鋭く有界な内部的集合であるとき、一般化された正則関数は、各 $u_\varepsilon$ が $A_\varepsilon$ 上で解析的であるような代表元 $(u_\varepsilon)$ を持つ。これにより、代表元レベルでも解析性が保たれる。
• $\widetilde{\mathcal{G}}(A)$ 内で一般化されたリウヴィルの定理が成り立つ。これは、$\widetilde{\mathbb{C}}$ 全体で有界な正則一般化関数は定数であることを示唆する。
• カットオフとコーシー積分による解析的代表元の構成により、一般化関数 $u$ が解析関数の類 $[(v_\varepsilon)]$ に等しくなることが保証され、各 $v_\varepsilon$ が $A_\varepsilon$ 上で解析的である。