[論文レビュー] Generalized André-Quillen Cohomology

David Blanc|ArXiv.org|Feb 14, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 56被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、スケッチとモデル圏を用いて、導来函手を多様な圏にわたって統一することで、代数的および一般化された（上）コホモロジー理論を網羅するように、アンドレ＝キュイレン（André-Quillen）コホモロジーを一般化する。主な貢献は、ホモロジーとコホモロジーを結ぶ普遍係数スペクトル系列であり、その応用は空間、スペクトラ、オペラッド、図式にまで及ぶ。

ABSTRACT

We explain how the approach of Andre and Quillen to defining cohomology and homology as suitable derived functors extends to generalized (co)homology theories, and how this identification may be used to study the relationship between them. As a side benefit, we clarify exactly what assumptions on an (algebraic) category are needed in order for the approach of Beck and Andre-Quillen to work. We also show how the description may be applied to construct universal coefficient and reverse Adams spectral sequences.

研究の動機と目的

• 導来函手に基づく一貫した枠組みにおいて、代数的および一般化された（上）コホモロジー理論を統一すること。
• アンドレ＝キュイレンの導来函手的手法が適用可能なカテゴリー的条件を明確にすること。
• 空間、スペクトラ、オペラッド、図式における一般化コホモロジーに理論を拡張すること。
• ホモトピー、ホモロジー、コホモロジーを一様な設定で結ぶスペクトル系列を確立すること。
• ブラウンの表現可能性の双対として、代表可能な函手がコホモロジー理論を生じる条件を同定すること。

提案手法

• オペラッドやその代数の含む、代数的構造を記述するための一般化理論（スケッチ）を用いる。
• 豊密化された圏における単体的および余単体的対象のモデル圏を用いて、導来函手を定義する。
• 対称モノイダル圏 V、圏 C、スケッチ Φ を用いた完全なコホモロジー的設定を導入する。
• コホモロジーを、G における Φ-代数への Hom(−, G) の全導来函手として定義し、余単体的 Φ-代数に値をとる。
• 全導来函手 Tot を用いて、余単体的対象からコホモロジー群を取得する。
• Π-代数圏における自由分解と全導来函手のホモトピー群を用いて、スペクトル系列を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アンドレ＝キュイレン（André-Quillen）コホモロジーは、不安定および一般化されたコホモロジー理論を含むようにどのように一般化できるか？
• RQ2 代表可能な函手がコホモロジー理論を生じる条件として、どのようなカテゴリー的条件が必要か？
• RQ3 この一般化された枠組みにおいて、ホモロジーとコホモロジーはどのように関係するか？
• RQ4 ホモトピー、ホモロジー、コホモロジーを一様に結ぶスペクトル系列を構成できるか？
• RQ5 オペラッドと図式は、この一般化コホモロジー理論において果たす役割は何か？

主な発見

• E²頁が Π-代数圏における Ext 群に同型であり、一般化コホモロジーに収束する普遍係数スペクトル系列が存在する。
• ホモロジーと導来テンソル積を結ぶ類似のスペクトル系列があり、E²頁が Π-代数圏における Tor 群に同型である。
• 空間の一般化ホモロジーに対して、スペクトル系列は E²_{s,t} ≅ Tor^{π-mod}_{s,t}(π_*K, G) ⇒ H_{t+s}(K;G) の形をとる。
• コホモロジーに対しては、スペクトル系列が E²^{s,t} ≅ Ext^{s}_{t}(π_*K, G) ⇒ H^{t-s}(K;G) と表され、古典的形式と一致する。
• 群、代数、スペクトラ、オペラッド、図式に対して、一貫した導来函手の定義を用いて理論が均一に適用可能である。
• ホモトピーと（上）コホモロジーを余単体的対象の全導来函手を介して結ぶ、逆アダムズ型スペクトル系列が構成された。