[論文レビュー] Generalized Appell Systems

Yuri Kondratiev, José Luís da Silva+1 more|ArXiv.org|Aug 7, 1999

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 16被引用数 47

ひとこと要約

本稿では、標準的な μ-指数を一般化された μ-指数 $ e_{\mu}^{\alpha} $ に置き換えることで、無限次元非ガウス型解析における一般化されたアペル系を導入する。ここで $ \alpha $ は原点近傍で正則かつ可逆な関数である。この手法により、すべての $ \alpha $ に対して同一のテスト関数空間および分布空間をもたらす双対系 $ (P^{\mu,\alpha}, Q^{\mu,\alpha}) $ が構成され、ワイルド積、カオス分解、測度変換の統一的枠組みが可能となる。特にポアソン型の場合には、チャイリエル多項式が特殊ケースとして得られる。

ABSTRACT

We give a general approach to infinite dimensional non-Gaussian analysis which generalizes the work \cite{KSWY95}. For given measure we construct a family of biorthogonal systems. We study their properties and their Gel'fand triples that they generate. As an example we consider the measures of Poisson type.

研究の動機と目的

• ガウス型および滑らかな測度のケースを超えて、無限次元非ガウス型解析におけるアペル系フレームワークを一般化すること。
• 正則かつ可逆な関数 $ \alpha \in \mathrm{Hol}_0(\mathcal{N}_{\mathbb{C}}, \mathcal{N}_{\mathbb{C}}) $ を用いて一般化された $ \mu $-指数 $ e_{\mu}^{\alpha} $ を導入し、より広範な適用可能性を実現する双対系 $ (P^{\mu,\alpha}, Q^{\mu,\alpha}) $ を構成すること。
• テスト関数空間と分布空間が $ \alpha $ に依存しないこと、つまり異なる $ \alpha $ 選択に対しても普遍的な構造が保たれることを示すこと。
• この一般化された枠組みにワイルド積およびワイルド計算を拡張し、ガウス型解析と類似した構造的性質を維持すること。
• ポアソン型測度の場合に、適切な $ \alpha $ の選択により古典的なチャイリエル多項式が一般化されたアペル多項式として回復されることを示すこと。

提案手法

• 複素化された核空間 $ \mathcal{N}_{\mathbb{C}} $ 上で正則かつ可逆な関数 $ \alpha $ を用いて、[KSWY95] で用いられる標準的な指数関数の代わりに一般化された $ \mu $-指数 $ e_{\mu}^{\alpha}(\theta, x) $ を定義する。
• 一般化されたアペル多項式 $ P^{\mu,\alpha}_n(x) $ を、$ e_{\mu}^{\alpha}(\theta, x) $ を $ \theta $ のべき級数に展開した際の係数として定義し、双対系 $ Q^{\mu,\alpha}_n $ と双対直交性を満たすようにする。
• $ S_{\mu} $-変換と畳み込み $ C_{\mu} $ を定義し、一般化された関数および分布をその変換によって特徴付ける。
• $ S_{\mu} $-変換と微分作用素を用いて $ \mathbf{Q}^{\mu,\alpha} $-系を記述し、ガウス型解析と類似した特徴付け定理を確立する。
• 恒等式 $ e_{\mu}^{\alpha} = e_{\tilde{\mu}}^{\alpha} \cdot l_{\mu}^{\alpha-1} \cdot l_{\tilde{\mu}}^{\alpha} $ を用いて再配置公式を確立し、一般化された関数に対する測度変更の公式を導出する。
• 測度変更の下での一般化された関数の変換則を導出する：$ \Phi^{(n)} = \sum_{k+m+l=n} \frac{1}{m!l!} \tilde{\Phi}^{(k)} \hat{\otimes} P_m^{\mu,\alpha}(0) \hat{\otimes} M_l^{\tilde{\mu},\alpha} $。これにより $ \mu $-系と $ \tilde{\mu} $-系が結びつけられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な $ \mu $-指数を超えて、より広い非ガウス型測度のクラスに適用可能なように、アペル系フレームワークをどのように一般化できるか。
• RQ2 一般化されたアペル系 $ (P^{\mu,\alpha}, Q^{\mu,\alpha}) $ の構造的性質は何か。また、$ \alpha $ の選択にどのように依存するか。
• RQ3 テスト関数空間と分布空間は $ \alpha $ に依存しないのか。もし依存しないならば、これはフレームワークの普遍性にどのような意味を持つのか。
• RQ4 ワイルド積およびワイルド計算は、この一般化された設定に自然に拡張可能か。その際、主要な性質は保たれるか。
• RQ5 ポアソン型測度の特殊ケースではどうなるか。適切な $ \alpha $ の選択により、既知の直交多項式（例えばチャイリエル多項式）が回復されるか。

主な発見

• すべての $ \alpha \in \mathrm{Hol}_0(\mathcal{N}_{\mathbb{C}}, \mathcal{N}_{\mathbb{C}}) $ に対してテスト関数空間 $ (\mathcal{N})^1 $ が同一であることが示され、$ \alpha $ に依存しない普遍的構造が実現されている。
• 分布空間 $ (\mathcal{N})_{\mu}^{-1} $ も $ \alpha $ に依存しないことが示され、一般化された関数の空間が $ \alpha $ の選択にかかわらず同一であることを意味する。
• ガウス型解析と類似した特徴付け定理が、$ S_{\mu} $-変換と微分作用素を用いて確立された。
• ワイルド積およびそれに伴うワイルド計算が、一般化された枠組みへ自然に拡張され、代数的・解析的性質が保たれている。
• ポアソン白色ノイズの場合、適切な $ \alpha $ の選択により、直交多項式系としてチャイリエル多項式が得られ、既知の結果と整合性が確認された。
• 測度を $ \mu $ から $ \tilde{\mu} $ に変更する場合、一般化された関数 $ \Phi $ は、$ P_m^{\mu,\alpha}(0) $ と $ M_l^{\tilde{\mu},\alpha} $ を含む畳み込みに類似した公式に従って変換され、完全な再配置則が得られた。