[論文レビュー] Generalized bent functions and their Gray images

Thor Martinsen, Wilfried Meidl+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ℤ₂ⁿ から ℤ₂ᵏ への一般化されたバント（gbent）関数が、k ≥ 2 に対して常に正則であることを確立し、ℤ₁₆ における gbent 関数およびセミバント関数の完全な特徴付けを提供する。また、ℤ₈ や ℤ₁₆ における gbent 関数のグレイ写像が、セミバントまたは 3-プレートウドであることを証明し、ℤ₄ や ℤ₈ における gbent 関数に関する先行研究を拡張する。

ABSTRACT

In this paper we prove that generalized bent (gbent) functions defined on $\mathbb{Z}_2^n$ with values in $\mathbb{Z}_{2^k}$ are regular, and find connections between the (generalized) Walsh spectrum of these functions and their components. We comprehensively characterize generalized bent and semibent functions with values in $\mathbb{Z}_{16}$, which extends earlier results on gbent functions with values in $\mathbb{Z}_4$ and $\mathbb{Z}_8$. We also show that the Gray images of gbent functions with values in $\mathbb{Z}_{2^k}$ are semibent/plateaued when $k=3,4$.

研究の動機と目的

• k ≥ 2 に対して、ℤ₂ᵏ に値をとる一般化されたバント（gbent）関数の正則性を確立すること。
• ℤ₁₆ における gbent 関数およびセミバント関数を、その成分ブール関数を用いて包括的に特徴付けること。
• ℤ₄ や ℤ₈ における gbent 関数に関する既知の結果を ℤ₁₆ の場合に拡張すること。
• gbent 関数のグレイ写像の性質、特にバント性およびプレートウド性を調査すること。
• スペクトル解析を用いて、成分関数に基づく gbent 性の必要十分条件を提示すること。

提案手法

• 一般化されたウォルシュ＝ハダマード変換を用いて、すべての周波数成分に対して大きさが 2ⁿ/² に一定である関数として gbent 関数を定義する。
• スペクトル分解を適用し、gbent 関数をその成分ブール関数 aᵢ: ℤ₂ⁿ → ℤ₂ で表現する。
• 再帰的分解技術を用いて、ℤ₂ᵏ における gbent 性を ℤ₂ᵏ⁻¹ における gbent 性に関連付ける。
• 双対変換の積の虚部を分析し、gbent 性の必要十分条件を導出する。
• 一般化されたグレイ写像 ψ を用いて、ℤ₂ᵏ における関数を ℤ₂ⁿ⁺ᵏ⁻¹ におけるブール関数に変換する。
• 一般化されたグレイ写像におけるハミング距離の不変性を用い、写像先でも構造的性質が保存されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k ≥ 2 に対して、ℤ₂ᵏ に値をとるすべての一般化されたバント関数は、必然的に正則であるか？
• RQ2 f ∈ ℤ₁₆ⁿ が gbent であるための必要十分条件は、その成分ブール関数 a₁, ..., a₄ を用いてどのように記述できるか？
• RQ3 一般化されたウォルシュ＝ハダマード変換のスペクトル特性は、ℤ₁₆ における関数の gbent 性とどのように関係するか？
• RQ4 ℤ₈ や ℤ₁₆ における gbent 関数のグレイ写像の性質は何か？
• RQ5 ℤ₂ᵏ における関数の gbent 性は、その ℤ₂ᵏ⁻¹ における成分を用いて再帰的に特徴付け可能か？

主な発見

• すべての一般化されたバント関数 f: ℤ₂ⁿ → ℤ₂ᵏ は正則であり、ウォルシュ＝ハダマード変換が |ℋ_f(u)| = 2ⁿ/² かつ ℋ_f(u) = 2ⁿ/²ζ_q^{f*(u)} を満たし、ある双対関数 f* が存在する。
• k = 4（すなわち ℤ₁₆ に値をとる場合）において、本稿では成分ブール関数 a₁, ..., a₄ を用いた gbent 関数およびセミバント関数の完全な特徴付けを提供する。
• ℤ₈ における gbent 関数のグレイ写像はセミバントであり、ℤ₁₆ における gbent 関数のグレイ写像は 3-プレートウドである。
• ℤ₂ᵏ における gbent 関数 f の一般化されたウォルシュ＝ハダマード変換は、すべての u ∈ ℤ₂ⁿ に対して |ℋ_f(u)| = 2ⁿ/² を満たし、この性質は一般化されたグレイ写像のもとでも保存される。
• 関数 f = h + 2ᵏ⁻²g が ℤ₂ᵏ で gbent であるための必要十分条件は、h および h + 2ᵏ⁻²g が ℤ₂ᵏ⁻¹ で gbent であり、かつそれらの変換の積の虚部が消えることである。
• 本稿の結果は、ℤ₄ や ℤ₈ における gbent 関数に関する先行研究を一般化し、高次 gbent 関数のための体系的な枠組みを提供する。