[論文レビュー] Generalized bent functions - sufficient conditions and related constructions

Samir Hodžić, Enes Pašalić|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、一般化された Walsh-Hadamard 変換を成分ブール関数のスペクトルを用いた別表現によって特徴付けることにより、偶数 $ q $ に対する一般化されたバント（gbent）関数 $ f: \mathbb{Z}_2^n \to \mathbb{Z}_q $ の十分条件を導出する。主たる貢献は、一般化された gbent 関数の構成を可能にするコンactなスペクトル公式の確立であり、$ q=4,8 $ において十分性が確認され、特に一般化された Maiorana-McFarland 系列において必要性の強い兆候が示されている。

ABSTRACT

The necessary and sufficient conditions for a class of functions $f:\mathbb{Z}_2^n ightarrow \mathbb{Z}_q$, where $q \geq 2$ is an even positive integer, have been recently identified for $q=4$ and $q=8$. In this article we give an alternative characterization of the generalized Walsh-Hadamard transform in terms of the Walsh spectra of the component Boolean functions of $f$, which then allows us to derive sufficient conditions that $f$ is generalized bent for any even $q$. The case when $q$ is not a power of two, which has not been addressed previously, is treated separately and a suitable representation in terms of the component functions is employed. Consequently, the derived results lead to generic construction methods of this class of functions. The main remaining task, which is not answered in this article, is whether the sufficient conditions are also necessary. There are some indications that this might be true which is also formally confirmed for generalized bent functions that belong to the class of generalized Maiorana-McFarland functions (GMMF), but still we were unable to completely specify (in terms of necessity) gbent conditions.

研究の動機と目的

• 偶数 $ q $ の場合に、関数 $ f: \mathbb{Z}_2^n \to \mathbb{Z}_q $ が一般化されたバント（gbent）であるための十分条件を特定すること。
• 成分ブール関数の Walsh スペクトルを用いた一般化された Walsh-Hadamard 変換の新たなスペクトル的特徴付けを提供すること。
• 任意の偶数 $ q $ に適用可能な、一般化された gbent 関数の構成手法を確立すること、特に 2 のべきではない値に対しても同様に適用可能であること。
• 導出された十分条件が、一般化された Maiorana-McFarland 関数などの構造的クラスにおいても必要条件であるかどうかを調査すること。

提案手法

• $ q = 2^h $ の場合、$ f(x) = a_0(x) + 2a_1(x) + \cdots + 2^{h-1}a_{h-1}(x) $ と表現し、$ 2^{h-1} < q < 2^h $ の場合に $ f(x) = \frac{q}{2}a(x) + a_0(x) + \cdots + 2^{h-2}a_{h-2}(x) $ という変形を用いてスペクトル解析を簡略化する。
• 成分関数 $ a_i $ の Walsh スペクトルを用いて、一般化された Walsh-Hadamard 変換のコンパクトな公式を導出する。
• スペクトル公式を用いて、変換行列 $ W^T $ が符号付きの Sylvester-Hadamard 行列 $ \pm H^{(r)}_{2^p} $ に等しくなるような十分条件を確立する。
• 一般化された Maiorana-McFarland 系列（GMMF）にこの手法を適用し、GMMF 関数が導出された十分条件を満たすことを示す。
• 補完および平行移動に関する Walsh スペクトルの性質（例えば $ W_g(u) = -W_{g \oplus 1}(u) $ および $ W_{g \oplus \alpha}(u) = (-1)^{u \cdot \alpha} W_g(u) $）を用いて、スペクトル条件を満たす例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非 2 のべきの偶数 $ q $ を含め、すべての偶数 $ q $ に対して gbent 性の一般な十分条件を導出可能か？
• RQ2 導出された十分条件は、一般化された Maiorana-McFarland 関数などの構造的クラスにおいても必要条件であるか？
• RQ3 成分ブール関数の Walsh スペクトルを用いて、一般化された Walsh-Hadamard 変換を効率的に計算・特徴付ける方法は何か？
• RQ4 スペクトル条件 $ W^T = \pm H^{(r)}_{2^p} $ が gbent 関数の構築に与える影響は何か？

主な発見

• 関数 $ f: \mathbb{Z}_2^n \to \mathbb{Z}_q $ の一般化された Walsh-Hadamard スペクトルを、その成分ブール関数の Walsh スペクトルの観点から、コンパクトで効率的な公式として導出した。
• gbent 性のための導出された十分条件は、$ q=4 $ および $ q=8 $ における既知の必要十分条件と一致しており、一般に必要条件である可能性を示唆している。
• $ q=16 $ の場合、スペクトル行列 $ W^T $ が $ \pm H^{(2)}_{8} $ または $ \pm H^{(3)}_{8} $ に一致するような成分関数の構成法を提示し、条件の十分性を確認した。
• 一般化された Maiorana-McFarland 系列（GMMF）の gbent 関数は、導出された十分条件を満たしており、これらの条件が特定の状況で必要条件である可能性を示唆する。
• 本手法により、スペクトルの組み合わせが所定の符号付きハダマード行列条件を満たすように成分関数を選択することで、一般化された gbent 関数の構成が可能になる。