[論文レビュー] Generalized Bergmann Metrics and Invariance of Plurigenera

Hajime Tsuji|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 1996

Geometry and complex manifolds参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、一般型の射影多様体に対して一般化されたベルグマン核を導入し、ヤウの体積形式が半負のリッチ曲率を持つことを証明する。主な結果として、一般型多様体の滑らかな射影的変形における多重正則形式の数の不変性を確立し、解析的手法を用いて長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

An invariant kernel for the pluricanonical system of a projective manifold of general type is introduced. Using this kernel we prove that the Yau volume form on a smooth projective variety has seminegative Ricci curvature. As a biproduct we prove the invariance of plurigenera for smooth projective deformations of manifolds of general type.

研究の動機と目的

• 一般型多様体の滑らかな射影的変形における多重正則形式の数の不変性を確立すること。
• 一般型の射影多様体における多重正則線形系統の不変核を構成すること。
• 滑らかな射影多様体上のヤウ体積形式のリッチ曲率特性を分析すること。
• 計量論的手法を用いて、複素微分幾何と代数幾何を結ぶ解析的不変性結果を証明すること。

提案手法

• 一般型の射影多様体における多重正則線形系統の不変核としての一般化されたベルグマン核の構成。
• この核を用いて、滑らかな射影多様体上のヤウ体積形式の曲率特性を研究すること。
• 特にケーラー幾何における解析的手法を用いて、ヤウ計量のリッチ曲率を分析すること。
• ヤウ体積形式の半負のリッチ曲率を活用し、変形における多重正則形式の数の不変性を導出すること。
• MSRI 1996-030報告書の枠組みを活用して、解析的および幾何的議論を形式化すること。
• 複素変数および代数幾何の道具を統合し、計量に基づく方法により不変性結果を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般型の射影多様体における多重正則線形系統は、変形のもとで不変核を有するか？
• RQ2 一般化されたベルグマン計量を用いて、滑らかな射影多様体上のヤウ体積形式のリッチ曲率が半負であることを示せるか？
• RQ3 一般型多様体の滑らかな射影的変形において、多重正則形式の数は不変か？
• RQ4 ケーラー幾何における解析的手法をどのように用いて代数的不変性定理を証明できるか？
• RQ5 一般化されたベルグマン核は、計量幾何と多重正則線形系統の不変量をどのように結びつけるか？

主な発見

• 一般化されたベルグマン核は、一般型の射影多様体における多重正則線形系統の標準的かつ不変核を提供する。
• 任意の滑らかな射影多様体上のヤウ体積形式は、核の構成により半負のリッチ曲率を持つことが確立された。
• 一般型多様体の滑らかな射影的変形における多重正則形式の数の不変性は、厳密に証明された。
• 曲率の有界性と核の不変性に基づく解析的手法により、複素代数幾何における古典的問題が解決された。
• この結果により、一般型多様体の滑らかな射影的族における多重正則形式の数が変形不変量であることが確認された。