[論文レビュー] Generalized Black Hole Entropy is von Neumann Entropy

Jonah Kudler-Flam, Samuel Leutheusser+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2023

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、一般化されたブラックホールエントロピー—Bekenstein-Hawkingの面積法則と量子場のvon Neumannエントロピーの和として定義されるもの—が、分岐するキリングホライズンを有する時空における適切に「重力的に装備された」観測可能量の代数のvon Neumannエントロピーに正確に一致することを確立している。線形Klein-Gordon理論におけるこのような代数を構築する一般枠組みを用いて、著者らは観測可能量の代数が常にホライズンに局在化したタイプII∞因子を含むことを証明した。また、半古典的状態において、Kerr やSchwarzschild-de Sitterのような非平衡時空でも、この代数のvon Neumannエントロピーは一般化エントロピーを再現する。

ABSTRACT

It was recently shown that the von Neumann algebras of observables dressed to the mass of a Schwarzschild-AdS black hole or an observer in de Sitter are Type II, and thus admit well-defined traces. The von Neumann entropies of "semi-classical" states were found to be generalized entropies. However, these arguments relied on the existence of an equilibrium (KMS) state and thus do not apply to, e.g., black holes formed from gravitational collapse, Kerr black holes, or black holes in asymptotically de Sitter space. In this paper, we present a general framework for obtaining the algebra of dressed observables for linear fields on any spacetime with a Killing horizon. We prove, assuming the existence of a stationary (but not necessarily KMS) state and suitable decay of solutions, a structure theorem that the algebra of dressed observables always contains a Type II factor "localized" on the horizon. These assumptions have been rigorously proven in most cases of interest. Applied to the algebra in the exterior of an asymptotically flat Kerr black hole, where the fields are dressed to the black hole mass and angular momentum, we find a product of a Type II$_{\infty}$ algebra on the horizon and a Type I$_{\infty}$ algebra at past null infinity. In Schwarzschild-de Sitter, despite the fact that we introduce an observer, the quantum field observables are dressed to the perturbed areas of the black hole and cosmological horizons and is the product of Type II$_{\infty}$ algebras on each horizon. In all cases, the von Neumann entropy for semiclassical states is given by the generalized entropy. Our results suggest that in all cases where there exists another "boundary structure" (e.g., an asymptotic boundary or another Killing horizon) the algebra of observables is Type II$_{\infty}$ and in the absence of such structures (e.g., de Sitter) the algebra is Type II$_{1}$.

研究の動機と目的

• 非平衡時空（熱的平衡状態（KMS状態）が存在しない）における一般化ブラックホールエントロピーを定義する長年の曖昧さを解消すること。
• 分岐するキリングホライズンを有する曲がった時空上での線形量子場理論における「重力的に装備された」観測可能量を構築する一般枠組みを開発すること。
• KMS状態が存在しない場合でも、半古典的状態におけるこれらの装備された観測可能量のvon Neumannエントロピーが、一般化エントロピー $ S_{\text{gen}} = A/4G_N + S_{\text{vN}}(\rho_\omega) $ に一致することを証明すること。
• 得られたvon Neumann代数の分類を行い、その構造（タイプII∞またはタイプII1）がホライズンや漸近的境界といった境界構造の有無に依存することを示すこと。

提案手法

• 時空幾何とホライズンの質量および角運動量を介して結合する線形Klein-Gordon場を用い、位相空間のシンプレクティック構造を用いて、一般化された「重力的に装備された」観測可能量の枠組みを構築する。
• 分岐するキリングホライズンを有する時空（非特異的平坦なKerrブラックホールやSchwarzschild-de Sitter時空を含む）にこの枠組みを適用し、定常状態および解の漸近的減衰を仮定する。
• 観測可能量の代数が常にホライズンに局在化したタイプII∞因子を含むことを示す「構造定理」を証明する。このことは、状態がKMSでなくても成立する。
• ホライズンに沿ったキリングベクトルに沿った摂動のシンプレクティックフラックスを用い、摂動された面積および質量に関連する保存量を導出し、ブラックホール力学の第一法則と結びつける。
• Kerr時空における観測可能量の完全な代数が、ホライズン上に位置するタイプII∞代数と過去の光円錐無限遠点におけるタイプI∞代数の積であることを示し、全体としてタイプII∞代数が得られることを示す。
• Schwarzschild-de Sitter時空においては、代数が二つのタイプII∞代数（それぞれのホライズンに対応）の積であり、半古典的状態におけるvon Neumannエントロピーが二つのホライズン面積の和に加え、それらの間の場のエントロピーを含むことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kerrブラックホールや重力的崩壊によって形成されたようなKMS状態が存在しない時空において、一般化ブラックホールエントロピーをvon Neumannエントロピーとして厳密に特定できるか？
• RQ2 分岐するキリングホライズンを有する時空における「重力的に装備された」観測可能量の代数的構造は何か？ そして、境界構造（ホライズンや漸近的境界など）の有無にどのように依存するか？
• RQ3 KMS状態が存在しない非平衡状況において、装備された観測可能量代数における半古典的状態のvon Neumannエントロピーは、一般化エントロピー $ A/4G_N + S_{\text{vN}}(\rho_\omega) $ を再現するか？
• RQ4 タイプII∞とタイプII1のvon Neumann代数の分類は、漸近的境界や第二のホライズンの有無といった、グローバルな時空構造にどのように依存するか？
• RQ5 KMS状態が存在しない場合でも、装備された観測可能量のシンプレクティック構造からブラックホール力学の第一法則を導出できるか？

主な発見

• キリングホライズン上での「重力的に装備された」観測可能量の代数は、その下位状態が熱的でなくても常にタイプII∞因子である。
• Kerrブラックホールの外部領域において、完全な観測可能量代数はホライズン上に位置するタイプII∞代数と過去の光円錐無限遠点におけるタイプI∞代数の積であり、全体としてタイプII∞代数となる。
• この代数における半古典的状態のvon Neumannエントロピーは、KMS状態が存在しない場合でも正確に一般化エントロピー $ S_{\text{gen}} = A/4G_N + S_{\text{vN}}(\rho_\omega) $ に一致する。
• Schwarzschild-de Sitter時空では、ブラックホールホライズンおよび宇宙論的ホライズンに装備された観測可能量の代数は二つのタイプII∞代数の積であり、半古典的状態のエントロピーには両方のホライズンおよびそれらの間の場からの寄与が含まれる。
• 代数の分類がタイプII∞かタイプII1かは境界構造の有無に依存する：ホライズンや漸近的境界などの境界構造が存在する場合、タイプII∞となる。それらが存在しない場合（例えば、観測者がいないde Sitter時空など）、タイプII1となる。
• ホライズンに沿ったキリングベクトルに沿った摂動のシンプレクティックフラックスは、保存量を生成し、その面積項がシンプレクティック形式から自然に導かれる。この保存量はブラックホール力学の第一法則と一致する。