[論文レビュー] Generalized Bochner formulas and Ricci lower bounds for sub-Riemannian manifolds of rank two

Fabrice Baudoin, Nicola Garofalo|ArXiv.org|Apr 10, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 63被引用数 24

ひとこと要約

本稿では、ランク2の部分リーマン多様体に対する一般化されたリッチ曲率テンソルとボッハナー型公式を導入し、曲率次元不等式の部分リーマン的類似を可能にする。下からのリッチ曲率の下界のもとで、直径の上限、Li-Yauの推定、リヒネロービッチ型固有値ギャップといったリーマン的幾何学的・解析的結果が得られる。

ABSTRACT

We study a new class of rank two sub-Riemannian manifolds encompassing Riemannian manifolds, CR manifolds with vanishing Webster-Tanaka torsion, orthonormal bundles over Riemannian manifolds, and graded nilpotent Lie groups of step two. These manifolds admit a canonical horizontal connection and a canonical sub-Laplacian. We construct on these manifolds an analogue of the Riemannian Ricci tensor and prove Bochner type formulas for the sub-Laplacian. As a consequence, it is possible to formulate on these spaces a sub-Riemannian analogue of the so-called curvature dimension inequality. Sub-Riemannian manifolds for which this inequality is satisfied are shown to share many properties in common with Riemannian manifolds whose Ricci curvature is bounded from below

研究の動機と目的

• ランク2の部分リーマン多様体に対する部分リーマン的類似のリッチ曲率と曲率次元不等式を構築すること。
• 標準的な水平接続を備えた部分リーマン幾何におけるボッハナー型公式と勾配推定を拡張すること。
• 下からのリッチ曲率の下界のもとで、直径の上限、等周不等式、固有値ギャップ推定といった幾何学的・解析的帰結を導出すること。
• このような多様体上の熱半群に対して、確率的完全性と放物型ハーナック不等式を確立すること。
• 部分リーマン的文脈におけるヨウのリーマンの定理とリヒネロービッチ型固有値推定を一般化すること。

提案手法

• ランク2の部分リーマン多様体に、標準的な水平接続と部分ラプラシアンを定義し、リーマン的、CR的、ステップ2可解なリー群を含む。
• 水平ヘッセ行列と2階水平微分作用素を含む曲率公式を用いて、一般化されたリッチテンソルを構成する。
• 水平ヘッセ行列、そのカー・デュ・シャンプ、および曲率項を含む部分ラプラシアンの2つのボッハナー型公式を導出する。
• リーマン的CD条件を部分リーマン幾何に一般化する曲率次元不等式CD(ρ₁,ρ₂;κ,d)を導入する。
• 変分不等式と熱半群推定を用いて、曲率次元条件のもとでLi-Yauおよびハーナック型不等式を導出する。
• 曲率次元不等式を用いて、熱核とエネルギー推定を介して、固有値ギャップ推定、体積成長の上限、等周不等式を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランク2の部分リーマン多様体に対して、ボッハナー型公式を支える一般化されたリッチ曲率テンソルを定義可能か？
• RQ2 部分リーマン幾何において、リーマン的幾何学的・解析的性質を含む曲率次元不等式が成立するか？
• RQ3 このような多様体上の熱半群に対して、Li-Yauの勾配推定と放物型ハーナック不等式を確立できるか？
• RQ4 下からのリッチ曲率の下界が、部分リーマン空間における固有値ギャップと体積成長に与える影響は何か？
• RQ5 非自明な水平曲率を有する部分リーマン的文脈において、一般化されたリヒネロービッチ定理はどのように拡張されるか？

主な発見

• ランク2の部分リーマン多様体に対して、一般化されたリッチ曲率テンソルが構成され、曲率次元不等式が可能になった。
• 曲率次元不等式CD(ρ₁,ρ₂;κ,d)は、熱核の放物型ハーナック不等式と確率的完全性を含意する。
• 曲率次元条件のもとで、熱核はハウスドルフ次元に関連する指数を持つ非対角ガウス上界を満たす。
• 部分リーマン的ボンネット＝マイヤース定理が確立された：ρ₁ > 0 かつ κ ≥ 0 ならば、直径は $ \frac{d}{\rho_1} $ で有界である。
• 部分ラプラシアンの1番目の非ゼロ固有値に対するリヒネロービッチ型下界が得られた：$ \lambda_1 \geq \frac{\rho_1 \rho_2}{\frac{d-1}{d}\rho_2 + \kappa} $。
• 曲率と等周性を結びつける定数 $ \sqrt{\frac{\kappa + \rho_2}{d \rho_1 \rho_2}} $ を含む $ L^1 $ ポアンカレ不等式が証明された。