[論文レビュー] Generalized Bombieri - Lagarias' theorem and generalized Li's criterion

S. K. Sekatskiǐ|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2013

Analytic Number Theory Research参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、リーマンゼータ関数のリーマンシグマ関数に着目し、任意の実数 a ≠ 1/2 を中心として、Liの基準およびBombieri-Lagariasの定理を一般化する。非自明なゼータ関数の零点に関する和と導関数の族を導入し、a < 1/2 の場合の非負性、a > 1/2 の場合の非正性がリーマン予想と同値であることを証明している。これは元の基準を z=1 を超えて一般化するものである。

ABSTRACT

We show that Li's criterion equivalent to the Riemann hypothesis, viz. the statement that the sums k_n=Sum_rho(1-(1-1/rho)^n) over Riemann xi-function zeroes as well as all derivatives lambda_n= (n-1)!^(-1)*d^n/dz^n(z^(n-1)*ln(xi(z))_(z=1)), where n=1, 2, 3..., should be non-negative if and only if the Riemann hypothesis holds true, can be generalized and the non-negativity of certain derivatives of the Riemann xi-function estimated at an arbitrary real point a, except a=1/2, can be used as a criterion equivalent to the Riemann hypothesis. Namely, we demonstrate that the sums k_n=Sum_rho(1-(1-((rho-a)/(rho+a-1))^n) for any real a not equal to 1/2 as well as the derivatives (n-1)!^(-1)*d^n/dz^n((z-a)^(n-1)*ln(xi(z))_(z=(1-a))), n=1, 2, 3... for any a&lt;1/2 are non-negative if and only if the Riemann hypothesis holds true (correspondingly, the same derivatives when a&gt;1/2 should be non-positive for this). Similarly to Li's one, the theorem of Bombieri and Lagarias applied to certain multisets of complex numbers, is also generalized along the same lines.The results presented here are now available as a paper in Ukrainian Math. J., 64, 371-383, 2014.

研究の動機と目的

• リーマン予想と関連する非自明なゼータ関数の零点に関する特定の和の非負性を保証するLiの基準を、z=1 から任意の実数 a ≠ 1/2 にまで拡張すること。
• 複素数の多重集合に関するBombieri-Lagariasの定理を、リーマンシグマ関数および任意のシフトパラメータ a の文脈に一般化すること。
• a < 1/2 の場合に、z = 1−a におけるリーマンシグマ関数の特定の導関数の符号がリーマン予想の真偽を決定することを確立すること（非負性）、a > 1/2 の場合には非正性である。
• 実数 a ≠ 1/2 をパrameterとする連続的な同値条件の族を導入することで、既存のリーマン予想の基準を統合・一般化すること。

提案手法

• 非自明なゼータ関数の零点 ρ について、実数 a ≠ 1/2 に対して、k_n(a) = ∑_ρ [1 − (1 − (ρ−a)/(ρ+a−1))^n] で定義される一般化された和を定義する。
• n = 1,2,3,… に対して、λ_n(a) = (n−1)!^−1 × d^n/dz^n [(z−a)^{n−1} ln ξ(z)] を z = 1−a で評価する一般化された導関数を導入する。
• a < 1/2 の場合に、すべての n ≥ 1 に対して λ_n(a) が非負であることはリーマン予想と同値であることを証明する。
• a > 1/2 の場合に、すべての n ≥ 1 に対して λ_n(a) が非正であることはリーマン予想と同値であることを示す。
• リーマンシグマ関数の性質と解析接続を用いて、一般化された基準の有効範囲を拡張する。
• 複素解析およびスペクトル理論の技法を用い、導関数の符号と非自明な零点の位置の関係を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Liの基準は、z=1 から任意の実数 a ≠ 1/2 にまで一般化可能か？
• RQ2 リーマンシグマ関数の導関数を z = 1−a で評価することにより、a ≠ 1/2 の場合にリーマン予想と同値な条件の族が存在するか？
• RQ3 異なる a の値に対して、一般化された導関数 λ_n(a) の符号はリーマン予想の真偽とどのように関係するか？
• RQ4 Bombieri-Lagariasの定理は、任意の実数 a ≠ 1/2 に対して、シフトされたゼロ点によって定義される多重集合へと拡張可能か？
• RQ5 リーマン予想を特徴付けるために、一般化された和 k_n(a) に必要な正確な条件は何か？

主な発見

• 任意の実数 a < 1/2 に対して、リーマン予想が成り立つための必要十分条件は、すべての n ≥ 1 に対して λ_n(a) が非負であることである。
• 任意の実数 a > 1/2 に対して、リーマン予想が成り立つための必要十分条件は、すべての n ≥ 1 に対して λ_n(a) が非正であることである。
• k_n(a) = ∑_ρ [1 − (1 − (ρ−a)/(ρ+a−1))^n] で定義される一般化された和は、すべての n ≥ 1 に対して非負であることがリーマン予想が成り立つための必要十分条件である。
• 導関数の符号とリーマン予想の同値性は、すべての実数 a ≠ 1/2 に対して成り立ち、連続的な同値条件の族を提供する。
• 本研究は、Liの基準およびBombieri-Lagariasの定理を一般化し、それらの有効範囲を任意の実数 a ≠ 1/2 のシフトパラメータにまで拡張している。
• 本論文は、臨界線 ℜ(s) = 1/2 が、これらの一般化された不変量の符号行動によって特徴づけられることを確立し、ゼータ関数の零点を研究するための新たな解析的ツールを提供している。