[論文レビュー] Generalized BSDE With 2-Reflecting Barriers and Stochastic Quadratic Growth

El Hassan Essaky, M. Hassani|arXiv (Cornell University)|May 19, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、弱い仮定の下で、二つの反射境界を持つ1次元の一般化された後向き stochastic 微分方程式（GRBSDE）に対して最大解の存在を確立する。ドライバーはyにおける一般的成長とzにおける確率的二次的成長を示し、終端条件は可測であるにとどまる。指数変換と切り捨て技術を用いて、P可積分性やMokobodskiの条件を仮定せず、解の存在を証明し、Dynkinゲームやアメリカンゲームオプションへの応用をより広く展開する。

ABSTRACT

We study the existence of a solution for a one-dimensional generalized backward stochastic differential equation with two reflecting barriers (GRBSDE for short) under assumptions on the input data which are weaker than that on the current literature. In particular, we construct a maximal solution for such a GRBSDE when the terminal condition ξis only F_T-measurable and the driver f is continuous with general growth with respect to the variable y and stochastic quadratic growth with respect to the variable z without assuming any P-integrability conditions. The work is suggested by the interest the results might have in Dynkin game problem and American game option.

研究の動機と目的

• 先行研究よりも弱い仮定の下で、二つの反射境界を持つ一般化された後向き stochastic 微分方程式（GRBSDE）の解の存在を確立すること。
• ドライバーfに対する標準的要件を緩和し、yにおける一般的成長とzにおける確率的二次的成長を許容しつつ、入力データのP可積分性を仮定しないこと。
• 境界LとUに対するMokobodskiの条件の必要性を排除し、それらの間に半マルティンゲールが存在するというより弱い仮定に置き換えること。
• GRBSDEの適用範囲を確率的制御およびゲーム理論的ファイナンス、特にDynkinゲームとアメリカンゲームオプションに拡大すること。
• 一般条件の下で比較定理を確立し、解の一意性および順序関係を支持すること。

提案手法

• 元のGRBSDEをより取り扱いやすい係数を持つ補助GRBSDEに変換するため、指数変換を適用する。
• 弱い可積分性および成長条件の下で、補助GRBSDEの解を構成するために切り捨ておよび近似技術を用いる。
• 経路的および確率的議論を精巧に用いて、元のGRBSDEと変換後のGRBSDEの解の等価性を確立する。
• 半マルティンゲール境界と係数の優越性を含む一般仮定の下で、GRBSDEに対する比較定理を用いる。
• zにおける確率的二次的成長を扱うために、Girsanov変換および指数マーティンゲール技術を用いる。
• 解過程Yが、特異局所時刻測度K⁺とK⁻によって下位境界Lと上位境界Uの間に保たれることを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドライバーfがyにおける一般的成長とzにおける確率的二次的成長を示すが、入力データのP可積分性を仮定しない場合、二重反射GRBSDEに対して解が存在するか。
• RQ2 境界LとUに対するMokobodskiの条件を、それらの間に半マルティンゲールが存在するというより弱い仮定に置き換えることは可能か。
• RQ3 終端条件ξがF_T可測であるが、必ずしも二階可積分でない場合でも、最大解の存在は保たれるか。
• RQ4 一般の成長条件の下で、ドライバーのリプシッツ連続性を仮定しない場合に、GRBSDEに対する比較定理を確立できるか。
• RQ5 ドライバーfが(y,z)に関して連続的であるが、一様リプシッツでない場合、解はどのように構成できるか。

主な発見

• ドライバーfがyにおける一般的成長とzにおける確率的二次的成長を示すが、入力データにP可積分性を要しない条件下でも、二重反射GRBSDEに対して最大解が存在する。
• Mokobodskiの条件の代わりに、境界LとUの間に半マルティンゲールが存在するというより弱い条件が成立する場合、解の存在結果が成り立つ。
• 解は、元のGRBSDEをより正則な係数を持つ等価な補助GRBSDEに変換する指数変換によって構成される。
• この手法は、ドライバーおよび境界の切り捨てと近似に依存し、その後、緊密性および収束の議論を用いて極限に至る。
• 一般仮定の下で比較定理が確立され、入力が優越性条件を満たすならば、対応する解も同じ順序関係をほぼ everywhere で満たすことが示された。
• すべてのt ∈ [0,T]に対してY_t ∈ [L_t, U_t]が成り立ち、局所時刻測度K⁺とK⁻が境界での反射を保証する。