[論文レビュー] Generalized Calabi-Yau structures and mirror symmetry

Claus Jeschek|ArXiv.org|Jun 4, 2004

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 12被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、一般化された複素構造を用いて、弦理論における鏡映性を再定式化する一般化されたCalabi-Yau枠組みを導入する。この枠組みにより、鏡写し写像 𝒫 によって、計量およびB場、さらに代数的構造が一意に写像されることを示している。主な結果として、B場を伴う六次元トーラスにおける鏡映性の体系的導出が得られ、Buscher則が再導出され、一般化幾何学を用いて複素構造とシンプレクティック構造の双対性が確認された。

ABSTRACT

We use the differential geometrical framework of generalized (almost) Calabi-Yau structures to reconsider the concept of mirror symmetry. It is shown that not only the metric and B-field but also the algebraic structures are uniquely mapped. As an example we use the six-torus as a trivial generalized Calabi-Yau 6-fold and an appropriate B-field.

研究の動機と目的

• 計量およびB場背景を自然に組み込むことができる、鏡映性の統一的数学的枠組みを提供すること。
• 一般化された複素構造およびB場変換を用いて、Calabi-Yau多様体を超えた鏡映性の概念を拡張すること。
• 一般化されたCalabi-Yau構造に作用し、統合性および torsion-free 性を保存する鏡写し写像 𝒫 を定義すること。
• 一般化幾何学の設定において、Buscher則および複素構造とシンプレクティック構造の双対性を再導出すること。
• 非自明なファイブレーション、ねじれ、フラックス（NSフラックスおよびDブレーン配置を含む）を含む形式への一般化を図ること。

提案手法

• 純スピン形式およびSO(6,6)群の作用により定義される、T⁶上の一般化された複素構造をモデル空間として用いる。
• B場変換を指数写像 exp(B) = (1 B; 0 1) で定義し、一般化された複素構造に対して共役作用として作用させる。
• 一般化された複素構造をその鏡像に写す同型かつ対合写像である鏡写し写像 𝒫 を導入する。
• 公式 (Ĵ, Ŵ) = (𝒫𝐽̂𝐵𝒫, 𝒫𝜔̂𝐵𝒫) を用いて、鏡像化された一般化された複素構造およびシンプレクティック構造を導出する。ここで 𝐽̂𝐵 および 𝜔̂𝐵 はB変換された構造を表す。
• 一般化されたHitchin双線形形式およびスピン形式表現を用いて、一般化された複素構造における純粋性および統合性条件を定義する。
• 平坦なT³ファイバーを伴うT⁶（B場あり・なし）に形式を適用し、鏡映性が自明でないファイブレーションと非自明なファイブレーションを交換することを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素構造とシンプレクティック構造の双対性、B場および計量を統合的に扱う形で、鏡映性をどのように定式化できるか？
• RQ2 一般化された複素構造は、1つの幾何的対象として複素構造とシンプレクティック構造の両方の情報をどのように符号化するか？
• RQ3 B場変換は一般化された複素構造およびシンプレクティック構造にどのように作用するか？ また、これにより鏡映性をどのように定義できるか？
• RQ4 統合性および純粋性を保存する一般化されたCalabi-Yau構造上で、鏡写し写像を自己同型として定義できるか？
• RQ5 Buscher則は一般化幾何学の枠組みから自然にどのように導かれるか？ また、ねじれやフラックスを持つ背景へは拡張可能か？

主な発見

• 鏡写し写像 𝒫 は、一般化されたCalabi-Yau構造上で同型かつ対合写像として定義され、元の構造をその鏡像に写す。
• B場変換は、一般化された複素構造に対して共役作用として作用し、対角形式から非対角形式に変換する。
• 鏡像化された一般化された複素構造 Ĵ およびシンプレクティック構造 Ŵ が成分形式で明示的に計算され、複素型とシンプレクティック型の双対性が示された。
• 形式は、事前仮定を追加せず、一般化幾何学の枠組みを通じてBuscher則を再現した。
• 鏡写し写像は、自明なB場を伴う平坦なT³ファイバーを伴うT⁶を、非自明なB場を伴う自明なファイブレーションに交換する。これは最小例における双対性を確認するものである。
• この枠組みは、非統合的かつねじれのある構造へ自然に一般化可能であり、一般化された部分多様体を介してNSフラックスおよびDブレーン配置への応用可能性を示唆している。