[論文レビュー] Generalized cluster states from Hopf algebras: non-invertible symmetry and Hopf tensor network representation

Zhian Jia|arXiv (Cornell University)|May 15, 2024

Molecular spectroscopy and chirality被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、クワイドの自由度をホップ代数値クワイドに置き換えることで、クラスタ状態の一般化された構成を導入する。一般化されたパウリ演算子を正則作用および表現作用を用いて定義することで、非可逆的対称性を実現し、1次元ホップクラスタ状態のギャップを持つハミルトニアンを構築する。このハミルトニアンが準1次元ホップ量子ダブルモデルと等価であることが示され、非可逆的グローバル対称性を持つ新しいクラスの対称性保護型トポロジカル位相が確立される。

ABSTRACT

Cluster states are crucial resources for measurement-based quantum computation (MBQC). It exhibits symmetry-protected topological (SPT) order, thus also playing a crucial role in studying topological phases. We present the construction of cluster states based on Hopf algebras. By generalizing the finite group valued qudit to a Hopf algebra valued qudit and introducing the generalized Pauli-X operator based on the regular action of the Hopf algebra, as well as the generalized Pauli-Z operator based on the irreducible representation action on the Hopf algebra, we develop a comprehensive theory of Hopf qudits. We demonstrate that non-invertible symmetry naturally emerges for Hopf qudits. Subsequently, for a bipartite graph termed the cluster graph, we assign the identity state and trivial representation state to even and odd vertices, respectively. Introducing the edge entangler as controlled regular action, we provide a general construction of Hopf cluster states. To ensure the commutativity of the edge entangler, we propose a method to construct a cluster lattice for any triangulable manifold. We use the 1d cluster state as an example to illustrate our construction. As this serves as a promising candidate for SPT phases, we construct the gapped Hamiltonian for this scenario and provide a detailed discussion of its non-invertible symmetries. We demonstrate that the 1d cluster state model is equivalent to the quasi-1d Hopf quantum double model with one rough boundary and one smooth boundary. We also discuss the generalization of the Hopf cluster state model to the Hopf ladder model through symmetry topological field theory. Furthermore, we introduce the Hopf tensor network representation of Hopf cluster states by integrating the tensor representation of structure constants with the string diagrams of the Hopf algebra, which can be used to solve the Hopf cluster state model.

研究の動機と目的

• 有限群を超えるクラスタ状態の一般化を、クワイド自由度の背後にある代数的構造としてホップ代数を用いること。
• 正則作用および既約表現作用を用いて一般化されたパウリ演算子を定義するホップクワイドの一貫性ある理論の構築。
• 構築されたホップクラスタ状態に非可逆的対称性がどのように出現するかの解明。
• 1次元ホップクラスタ状態のギャップを持つハミルトニアンの構築および、準1次元ホップ量子ダブルモデルとの等価性の確立。
• 構造定数のテンソル表現とホップ代数のストリングダイアグラムを組み合わせることで、ホップテンソルネットワーク表現の導入。

提案手法

• 有限群値クワイドをホップ代数値クワイドに置き換えることでホップクワイドを定義し、一般化されたパウリ-X演算子には正則作用、一般化されたパウリ-Z演算子には既約表現作用を用いる。
• 2部グラフ上の制御された正則作用としてエッジエンタングラーを構築し、偶数頂点には単位元状態、奇数頂点には自明表現状態を割り当てる。
• トライアングル化可能な多様体上に一貫性のあるエッジ順序と頂点割り当てスキームを用いてクラスタ格子を構築することで、エッジエンタングラーの可換性を保証する。
• 隣接するサイトに作用する一般化されたパウリ演算子の積として安定化項を特定することにより、1次元ホップクラスタ状態のギャップを持つハミルトニアンを導出する。
• ハミルトニアンマッピングと対称性解析を通じて、1次元ホップクラスタ状態モデルと準1次元ホップ量子ダブルモデルの等価性を確立する。
• 構造定数のテンソル表現をネットワークにエンコードし、トポロジカル不変性を保つためにストリングダイアグラム形式主義と組み合わせることで、ホップテンソルネットワーク表現を導入する。

Figure 2: An example of cluster lattice on a torus $\mathbb{T}^{2}$ . We first create a cellulation of $\mathbb{T}^{2}$ and regard the vertices as odd vertices (depicted as red vertices in the figure). An orientation is assigned to each edge. Then, for each edge, we add an even vertex (represented a

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにしてホップ代数を背後にある代数的構造として用いることで、有限群を超えたクラスタ状態を一般化できるか？
• RQ2 非可逆的対称性はホップクラスタ状態において果たす役割は何か？また、ホップ代数の代数的構造からどのようにして出現するか？
• RQ3 1次元ホップクラスタ状態に対して、非可逆的グローバル対称性を持つ対称性保護型トポロジカル位相を実現するギャップを持つハミルトニアンを構築できるか？
• RQ4 1次元ホップクラスタ状態と準1次元ホップ量子ダブルモデルとの間のハミルトニアン構造およびトポロジカルオーダーの関係は何か？
• RQ5 ホップテンソルネットワーク表現を体系的に構築する方法は何か？これにより、ホップクラスタ状態の代数的およびトポロジカル的特徴をどのようにエンコードできるか？

主な発見

• ホップ代数上での正則作用および表現作用を用いたホップクワイドの構築により、系に自然に非可逆的対称性が出現する。
• トライアングル化可能な多様体上での格子構築により、クラスタ状態の構築におけるエッジエンタングラーが可換性を保つことができ、一貫性のある状態準備が可能になる。
• 1次元ホップクラスタ状態のハミルトニアンが準1次元ホップ量子ダブルモデルと等価であることが示され、既知のトポロジカル量子場理論と結びつく。
• 1次元ホップクラスタ状態は、表現カテゴリ Rep(D₈) で記述される非可逆的グローバル対称性を持つ対称性保護型トポロジカル位相を実現しており、非可逆的対称性に関する最近の結果と整合的である。
• 構造定数のテンソル表現とストリングダイアグラムを組み合わせることで、ホップテンソルネットワーク表現が確立され、状態を図式的かつ代数的に一貫した枠組みで記述できる。
• このモデルは有限群に基づくクラスタ状態を一般化し、ホップ代数を用いることで非可逆的対称性にまで枠組みを拡張し、従来の知られていたものよりも広いクラスのSPT位相を提供する。

Figure 3: The Hopf tensor network for a one dimensional Hopf cluster state.