[論文レビュー] Generalized (co)homology of the loop spaces of classical groups and the universal factorial Schur $P$- and $Q$-functions

Masaki Nakagawa, Hiroshi Naruse|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 54被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、古典的群のループ空間の一般化された（余）ホモロジーを用いて、普遍的階乗シュールP-およびQ関数の位相的実現を、対称関数とラザール環の形式的群法則を用いて確立する。イワノフとイケダ＝ナラセの階乗シュール関数の普遍的類似を導入し、L-超対称性の性質の下で形式的基底をなすことを証明し、普遍的カウチ恒等式を用いて双対関数を構成することで、一般化されたホモロジー理論におけるホップ代数の双対性を明らかにする。

ABSTRACT

In this paper, we study the generalized (co)homology Hopf algebras of the loop spaces on the infinite classical groups, generalizing the work due to Kono-Kozima and Clarke. We shall give a description of these Hopf algebras in terms of symmetric functions. Based on topological considerations in the first half of this paper, we then introduce a universal analogue of the factorial Schur $P$- and $Q$-functions due to Ivanov and Ikeda-Naruse. We investigate various properties of these functions such as the cancellation property, which we call the $\mathbb{L}$-supersymmetric property, the factorization property, and the vanishing property. We prove that the universal analogue of the Schur $P$-functions form a formal basis for the ring of functions with the $\mathbb{L}$-supersymmetric property. By using the universal analogue of the Cauchy identity, we then define the dual universal Schur $P$- and $Q$-functions. We describe the duality of these functions in terms of Hopf algebras.

研究の動機と目的

• 無限大古典的群（Sp, SO, SU）のループ空間の一般化された（余）ホモロジーホップ代数を、対称関数の観点から記述すること。
• ラザール環上での階乗シュールP-およびQ関数の普遍的類似を導入し、イワノフおよびイケダ＝ナラセの構成を一般化すること。
• 普遍的関数の基礎的性質（L-超対称性、因子分解、消滅、安定性）を確立すること。
• 普遍的シュールP関数がL-超対称性の下で、対称関数環における形式的基底をなすことの証明。
• 普遍的カウチ恒等式を用いて双対普遍的シュールP-およびQ関数を定義し、それらのホップ代数的双対性を記述すること。

提案手法

• 一般化された（余）ホモロジー理論とボット周期性を用い、Sp, SO, SUのループ空間ホモロジー／コホモロジーを対称関数環と関連付ける。
• 形式的群法則パラメータbを用いて、ラザール環L上に普遍的階乗シュール関数P_L^λ(x|b)およびQ_L^λ(x|b)を構成する。
• 形式的群法則におけるキャンセル条件としてL-超対称性を定義し、対称関数における超対称性を一般化する。
• 普遍的カウチ恒等式を適用して双対関数bp_L^λ(y)およびbq_L^λ(y)を定義し、普遍的P-およびQ関数間の双対性を確立する。
• 厳密な整数分割およびシフトされたヤング図形におけるワイル群作用を用いて、逆転集合およびオイラー類の特殊化を記述する。
• タイプB∞、C∞、D∞の代数的局所化写像を用い、普遍的関数とコホモロジーにおける古典的シュール関数を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された（余）ホモロジーのループ空間の古典的群は、どのように対称関数を用いて記述できるか？
• RQ2 ラザール環および形式的群法則の文脈において、階乗シュールP-およびQ関数の普遍的性質は何か？
• RQ3 シュールP関数の普遍的類似は、L-超対称性の下で対称関数環における形式的基底をなすか？
• RQ4 普遍的シュールP-およびQ関数は、普遍的カウチ恒等式によってどのように双対関数と関係づけられるか？
• RQ5 ループ空間コホモロジーの文脈において、オイラー類の特殊化∏_{α∈Inv(λ)} e(−α)の位相的および代数的意味は何か？

主な発見

• E-ホモロジーおよびE-コホモロジーにおいて、ΩSpおよびΩ₀SOはそれぞれラザール環上のシュールP-およびQ関数環に同型である。
• 普遍的階乗シュールP関数P_L^λ(x|b)は、L-超対称性を満たし、超対称関数におけるキャンセル挙動を一般化する。
• 定理4.7で示されるように、L-超対称性の下で、普遍的シュールP関数は対称関数環における形式的基底をなす。
• Q_L^λ(x|b)に対して、形式的群法則に基づく内容項の積としての因子分解公式が確立された。
• 双対普遍的関数bp_L^λ(y)およびbq_L^λ(y)は普遍的カウチ恒等式によって定義され、それらのホップ代数的構造が普遍的P-およびQ関数のそれと双対であることが示された。
• 式(55)で示されるように、オイラー類の特殊化∏_{α∈Inv(λ)} e(−α)は、普遍的階乗シュールQ関数Q_L^λ(b_λ|b)に等しい。