[論文レビュー] Generalized coherent states for q-oscillator connected with q-Hermite polynomials

V. V. Borzov, Eugene V. Damaskinsky|ArXiv.org|Jul 27, 2003

Mathematical functions and polynomials参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、q-Hermite多項式に関連するq調和振動子に対するBarut-Girardello型一般化coherent状態（GCS）を、特に第二種離散q-Hermite多項式に焦点を当てて導入する。Askey-Wilsonスキーム内での新規な手法を用いて、Rogers q-Hermiteの場合のGCSを導出し（Arik-Coon振動子を回復）、第二種離散q-Hermite多項式についても新たな結果を得たが、測度が不明なため、単位分解による完全性の証明は未だなされていない。

ABSTRACT

For the oscillator-like systems, connected with q-Hermite polynomials, coherent states of Barut-Girardello type are defined. The well-known Arik-Coon oscillator naturally arose in the framework of suggested approach as oscillator, connected with the Rogers q-Hermite polynomials, in the same way as usual oscillator with standard Hermite polynomials. The results about the coherent states for discrete q-Hermite polynomials of II type are quite new.

研究の動機と目的

• q-Hermite多項式に基づく振動子的系に対するBarut-Girardello型一般化coherent状態（GCS）を定義すること。
• 本研究の枠組み内で、有名なArik-Coon q-調和振動子がRogers q-Hermite多項式から自然に導かれることが示されること。
• 従来未解決であった第二種離散q-Hermite多項式に対する新しいGCSの構成。
• GCSの収束性および完全性の検討、特に第一種離散q-Hermite多項式では収束に失敗することの特定。

提案手法

• q-Hermite多項式を3種類に分類するAskey-Wilsonスキームを用いる。
• Rogers q-Hermite多項式に対して、多項式から導かれる正規直交基底関数を用いてFock空間を定義する。
• 再帰関係とq数の恒等式を用いて、変形された振動子演算子（X_q, P_q, a_q^+, a_q^-）を構成し、Arik-Coon代数的構造に到達する。
• Barut-Girardello GCSは、降下演算子a_q^-の固有状態として定義され、q級数の生成関数から得られる正規化因子を有する。
• 第二種離散q-Hermite多項式に対しては、一般化超幾何関数1φ1と正規化級数ε_b(z²)を用いてGCSを表現し、収束半径R = ∞である。
• q差分方程式とq-Mehler公式を用いて、ポisson核と一般化フーリエ変換を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 q-Hermite多項式に基づくq-調和振動子に対して、Barut-Girardello coherent状態を一貫して定義可能か？
• RQ2 Arik-Coon振動子は、Rogers q-Hermite多項式の枠組みから自然に出現するか？
• RQ3 第二種離散q-Hermite多項式に対して、一般化coherent状態を構成可能か？
• RQ4 なぜ第一種離散q-Hermite多項式に対しては一般化coherent状態が存在しないのか？
• RQ5 正規化級数がGCSの収束性および完全性を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 提案手法を用いることで、Rogers q-Hermite多項式と関連するq変形調和振動子として、Arik-Coon q-調和振動子がうまく回復された。
• 第二種離散q-Hermite多項式に対する一般化coherent状態が構成され、文献における画期的な貢献となった。
• 第二種多項式のGCSの正規化級数は無限大の収束半径（R = ∞）を有し、良好に定義された状態を保証する。
• 第一種離散q-Hermite多項式では、正規化級数の収束半径が0であるため、GCSを定義することは不可能である。
• 第二種多項式のGCSは1φ1超幾何関数とq-Pochhammer積を用いて表現され、閉形式の表現が得られた。
• 第二種系のハミルトニアンは、正規直交基底によって対角化可能であり、固有値はλ_n = q^{-2n}[n+1]_q + q^{2-2n}[n]_qとして与えられる。