[論文レビュー] Generalized cohomology of pro-spectra

Daniel C. Isaksen|ArXiv.org|Aug 13, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、安定ホモトピー型プロ群によって弱同値が検出されるような、プロスペクトル上の閉じたモデル構造を確立する。これにより、良好な収束性を示すアティyah-Hirzebruchスペクトル系列が可能となり、一般化されたコホモロジー理論が正しくトップロジカルK理論や他の一般化コホモロジー理論を計算可能になる。これは、ナードコロイミット定義の失敗を解消する。

ABSTRACT

We present a closed model structure for the category of pro-spectra in which the weak equivalences are detected by stable homotopy pro-groups. With some bounded-below assumptions, weak equivalences are also detected by cohomology as in the classical Whitehead theorem for spectra. We establish an Atiyah-Hirzebruch spectral sequence in this context, which makes possible the computation of topological K-theory (and other generalized cohomology theories) of pro-spectra.

研究の動機と目的

• プロスペクトル上の一般化コホモロジー理論のホモトピー論的基盤を構築すること。
• プロスペクトル上のK理論のナードコロイミット定義が、収束が悪いスペクトル系列を引き起こすという失敗を解消すること。
• 安定ホモトピー型プロ群によって弱同値が検出されるような、プロスペクトル上の閉じたモデル構造を構築すること。
• 一般化コホモロジーを良好な収束性を有して計算するスペクトル系列を確立すること。
• エタールK理論、ホモトピー固定点、特徴量pの体上の二次形式への応用のための枠組みを提供すること。

提案手法

• プロホモトピー群によってファイバブルと弱同値が定まる、プロスペクトル上の閉じたモデル構造を定義する。
• プロスペクトル$X$の一般化コホモロジーを$E^r(X) = [Σ^{-r}X, E]_{\textup{pro}}$と定義する。ここで$E$は定数プロスペクトルである。
• エッジ2項が$E_2^{p,q} = H^{-p}(X; \pi_{-q}Y)$で、$[X,Y]_{\textup{pro}}^{p+q}$に収束するアティヤ＝ヒルツェブルクスペクトル系列を構成する。
• プロスペクトル$X$または$Y$が下に有界であるという仮定の下で、スペクトル系列の条件付き収束を証明する。
• スペクトルのポストニコフタワーを、プロスペクトルモデル構造におけるファイブレント置換として用いる。
• 長完全系列とフィルター付きコロイミットを用いて、スペクトル系列の収束を分析し、コロイミットにおける同型を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜプロスペクトル上の一般化コホモロジーのナードコロイミット定義は、K理論を正しく計算できないのか？
• RQ2 安定ホモトピー型プロ群によって弱同値が検出されるような、プロスペクトル上の閉じたモデル構造を構築できるか？
• RQ3 プロスペクトルに対して、良好な収束性を示すアティヤ＝ヒルツェブルクスペクトル系列が存在するか？
• RQ4 どのような条件下で、スペクトル系列が正しいコホモロジー群に条件付き収束するか？
• RQ5 スペクトルのポストニコフタワーによるファイブレント置換は、プロスペクトルの一般化コホモロジーとどのように関係するか？

主な発見

• プロスペクトルのアティヤ＝ヒルツェブルクスペクトル系列は、エッジ2項が$E_2^{p,q} = H^{-p}(X; \pi_{-q}Y)$で、下に有界な仮定のもとで、$[X,Y]_{\textup{pro}}^{p+q}$に条件付き収束する。
• プロスペクトル$X$が本質的にレベルワイズに下に有界である、または$Y$が定数で、$* \to X$が本質的にレベルワイズに$n$-同値である場合、スペクトル系列は条件付き収束する。
• 一般化コホモロジーのナードコロイミット定義$KU^*(X) = \operatorname{colim}_s KU^*(X_s)$は、コロイミットのアティヤ＝ヒルツェブルクスペクトル系列がうまく収束しないため、計算的に失敗する。
• ファイブレントプロスペクトルは、ホモトピー群が上に有界なスペクトルの逆方向図式であり、$KU$のポストニコフタワーは、定数プロスペクトルとしての$KU$のファイブレント置換として機能する。
• 下に有界な仮定のもとで、プロスペクトルのホワイトヘッドの定理が成り立つ：弱同値はコホモロジー同型によって検出可能である。
• 各レベル$X_s$のスペクトル系列のコロイミットは$KU^*(X)$を正しく計算しないが、新しいモデル構造により、正しいかつ計算可能な代替手段が提供される。