[論文レビュー] Generalized cohomology theories for algebraic stacks

Adeel A. Khan, Charanya Ravi|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2021

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、Voevodskyの安定モチビックホモトピー圏をスコールプド代数的スタックへ拡張し、代数的K理論、モチビックコホモロジー、代数的コボルディズムといった一般化コホモロジー理論のための完全な六関手形式を確立する。これらの理論がホモトピー不変性、局所化、メイヤー＝ヴェトリス、およびトーラス作用のための固定点局所化公式といった重要な性質を満たすことを証明するとともに、等置的チャウ群やボレル-equivariantコボルディズムを回復するlisse拡張理論を導入する。

ABSTRACT

We extend the stable motivic homotopy category of Voevodsky to the class of scalloped algebraic stacks, and show that it admits the formalism of Grothendieck's six operations. Objects in this category represent generalized cohomology theories for stacks like algebraic K-theory, as well as new examples like genuine motivic cohomology and algebraic cobordism. These cohomology theories admit Gysin maps and satisfy homotopy invariance, localization, and Mayer-Vietoris. For example, we deduce that homotopy K-theory satisfies cdh descent on scalloped stacks. We also prove a fixed point localization formula for torus actions. Finally, the construction is contrasted with a "lisse-extended" stable motivic homotopy category, defined for arbitrary stacks: we show for example that lisse-extended motivic cohomology of quotient stacks is computed by the equivariant higher Chow groups of Edidin-Graham, and we also get a good new theory of Borel-equivariant algebraic cobordism. Moreover, the lisse-extended motivic homotopy type is shown to recover all previous constructions of motives of stacks.

研究の動機と目的

• スカラップド代数的スタック（たるデリーニュ＝ムーディおよび商スタックを含む）のクラスに広がる安定モチビックホモトピー圏を拡張すること。
• これらのスタック上での一般化コホモロジー理論のための完全な六関手形式を確立し、函手性、基本変換、射影公式を保証すること。
• 代数的K理論、モチビックコホモロジー、代数的コボルディズムといったコホモロジー理論がホモトピー不変性、局所化、およびメイヤー＝ヴェトリスの性質を満たすことを証明すること。
• 任意のスタックに対してlisse拡張されたモチビックホモトピー圏を構築し、等置的チャウ群を回復するとともに、ボレル-equivariant代数的コボルディズムを可能にする。
• モチビックコホモロジーや一般化コホモロジー理論の文脈において、トーラス作用のための固定点局所化公式を証明すること。

提案手法

• 不安定モチビックホモトピー圏を、スタックへと滑らかに写像する滑らかなスキームの上に構成し、それを安定化することでスカラップドスタックのための安定モチビックホモトピー圏を定義する。
• コンパクト化とニスネヴィッチ局所コンパクト化可能性を用いて、六操作（引き戻し、押し出し、テンソル積、およびそれらのねじれ付き変種）を定義する。
• 導来カテゴリの解像性とコンパクト生成性に依拠することで、函手の随伴性と正確性を保証する。
• lisse拡張理論のため、lisse局所コンパクト化可能な準同型と、準射影的滑らかな被覆に沿ったケン・拡張を用いてモチビックスペクトラを拡張する。
• lisse拡張されたモチビックホモトピー型を用いて、ビットナーらのそれらを含むスタックのモチーフの既存の構成が回復されることを示す。
• 主要な技術的道具は、基本変換と射影公式のためのベクトルバンドル・トロスの使用であり、また、cdhおよびニスネヴィッチ下降を用いてコホモロジー的性質を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 安定モチビックホモトピー圏は、スキームや代数的空間を超えて広いクラスの代数的スタックへ拡張可能か？
• RQ2 代数的K理論や代数的コボルディズムといった一般化コホモロジー理論は、スタック上でホモトピー不変性と局所化を満たすか？
• RQ3 モチビック設定下のスタックにおいて、トーラス作用のための固定点局所化公式は存在するか？
• RQ4 lisse拡張されたモチビックホモトピー理論は、等置的チャウ群やボレル-equivariantコボルディズムを回復可能か？
• RQ5 非定数の安定化群をもつスタック（例えば商スタック）において、六関手形式はどのように振る舞うか？

主な発見

• 安定モチビックホモトピー圏はスカラップド代数的スタックへ拡張可能であり、基本変換および射影公式を備えた完全な六関手形式を備える。
• 代数的K理論、モチビックコホモロジー、代数的コボルディズムといった一般化コホモロジー理論は、スカラップドスタック上でホモトピー不変性、局所化、およびメイヤー＝ヴェトリス性質を満たす。
• トーラス作用のための固定点局所化公式が確立され、古典的結果をモチビック設定へ一般化する。
• lisse拡張されたモチビックホモトピー圏は、エディジン＝グレアムの等置的高次チャウ群を用いて、商スタックのlisse拡張モチビックコホモロジーを計算する。
• lisse拡張されたモチビックホモトピー型は、ビットナーらのそれらを含むスタックのモチーフのすべての既存の構成を、自然な比較同型を介して回復する。
• ボレル-equivariant代数的コボルディズムは、lisse拡張形式を用いて、新たな良好な理論として構成される。