[論文レビュー] Generalized complex geometry

Marco Gualtieri|ArXiv.org|Jan 18, 2004

Mathematics and Applications被引用数 141

ひとこと要約

この論文は、$T \oplus T^*$ 上のコーエント・ブラケットと純スピンルールを用いて、一般化された複素構造を定義することで、複素幾何とシンプレクティック幾何を統一する枠組みとして一般化された複素幾何を導入する。主な結果として、一般化されたダーブルスの定理の証明と、一般化されたケーラー幾何が双ヘルミート幾何と同値であることを示し、4次元における未解決問題を解消する。その結果、$
\mathbb{C}P^2$ が同じ向きを持つ2つの直交する複素構造を持つ計量を有することを示す。

ABSTRACT

Generalized complex geometry, as developed by Hitchin, contains complex and symplectic geometry as its extremal special cases. In this thesis, we explore novel phenomena exhibited by this geometry, such as the natural action of a B-field. We provide new examples, including some on manifolds admitting no known complex or symplectic structure. We prove a generalized Darboux theorem which yields a local normal form for the geometry. We show that there is an elliptic deformation theory and establish the existence of a Kuranishi moduli space. We then define the concept of a generalized Kahler manifold. We prove that generalized Kahler geometry is equivalent to a bi-Hermitian geometry with torsion first discovered by physicists. We then use this result to solve an outstanding problem in 4-dimensional bi-Hermitian geometry: we prove that there exists a Riemannian metric on the complex projective plane which admits exactly two distinct Hermitian complex structures with equal orientation. Finally, we introduce the concept of generalized complex submanifold, and show that such sub-objects correspond to D-branes in the topological A- and B-models of string theory.

研究の動機と目的

• 複素幾何とシンプレクティック幾何を、直接和束 $T \oplus T^*$ への幾何的構造の拡張によって一つの枠組みで統一すること。
• コーエント・ブラケットと純スピンルールを用いて一般化された複素構造を定義・研究し、古典的な統合条件を一般化すること。
• 一般化された複素構造の変形理論を確立し、クラスカルシュ型モジュライ空間を構成すること。
• 一般化されたケーラー幾何を定義し、それが双ヘリミート幾何と同値であることを証明することで、4次元における未解決問題を解消すること。
• 一般化された複素部分多様体を定義し、Dブレーンと関連づけ、対応空間を通じて一般化されたミラー対称性の枠組みを提唱すること。

提案手法

• 一般化された複素構造の統合条件を、$T \oplus T^*$ の切断にコーエント・ブラケットを用いて定義する。
• 一般化された複素構造を $\wedge^\bullet T^*$ 内の純スピンルールで表現し、$\mathcal{J}$ の $+i$-固有空間がコーエント不変的であることを示す。
• 一般化されたダーブルスの定理を証明し、一般化された複素構造の局所正規形を確立する。
• 変形複体を構成し、変形定理を証明することで、クラスカルシュ型モジュライ空間の存在を示す。
• 2つの可換な一般化された複素構造によって一般化されたケーラー構造を定義し、ビスマツ接続を用いて双ヘリミート幾何と関連付ける。
• 一般化された複素部分多様体を横断的な一般化された接束を通じて定義し、ミラー対称性のためのフーリエ＝マカイ型変換を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして $T \oplus T^*$ を用いて、複素幾何とシンプレクティック幾何を一つの幾何的枠組みに統合できるか？
• RQ2 一般化された複素幾何の局所的構造は何か？ 一般化されたダーブルスの定理は成り立つか？
• RQ3 一般化された複素構造に対して、整合性のとれた変形理論を構築できるか？ クラスカルシュ型モジュライ空間は存在するか？
• RQ4 一般化されたケーラー多様体の幾何的特徴づけは可能か？ そして、双ヘリミート幾何とどのように関係するか？
• RQ5 一般化された複素部分多様体は、Dブレーンの物理的予測と一致するように定義可能か？ また、この枠組みはミラー対称性をどのように支援できるか？

主な発見

• 一般化されたダーブルスの定理により、一般化された複素構造の局所正規形が確立され、シンプレクティック幾何におけるダーブルスの定理に類似する。
• 一般化された複素構造の変形理論は整合的であり、クラスカルシュ型モジュライ空間を備え、形式的変形理論の存在を証明する。
• 一般化されたケーラー幾何は、超対称的シグマ模型で物理学者が定義した、 torsion を持つ双ヘリミート幾何と同値である。
• 本論文は、4次元幾何における未解決問題を解消し、$
  \mathbb{C}P^2$ が同じ向きを持つ2つの異なる直交する複素構造を持つリーマン計量を有することを証明する。
• 一般化された複素部分多様体は、横断的な一般化された接束を用いて定義され、複素およびシンプレクティックの場合に Dブレーンと正確に対応する。
• 対応空間 $\mathcal{M} \subset M_A \times M_B$ を用いた一般化されたミラー対称性の枠組みを提唱する。ここでは、gerbe が自明化されており、変換 $\mathcal{F} = (\pi_A)_* \circ e^F \circ (\pi_B|_\mathcal{M})^*$ が定義され、T双対性およびフーリエ＝マカイ変換を一般化する。