[論文レビュー] Generalized complex geometry and supersymmetric non-linear sigma models

Ulf Lindström|ArXiv.org|Sep 24, 2004

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 13被引用数 11

ひとこと要約

本稿は一般化複素幾何（GCG）と超対称的非線形σ模型の間の関係を確立し、${\cal{N}}=(2,2)$および${\cal{N}}=(2,0)$モデルの標的空間幾何が一般化複素構造によって支配されることを示している。スーパーシンメトリー代数の閉包性と作用の不変性が、一般化複素構造$\mathcal{J}$の統合条件に等しいことが示され、複素幾何、シンプレクティック幾何、バイ・ヘルミート幾何を統合するものであり、$B$-場がグローバルかつ内在的な役割を果たす幾何的枠組みを提供する。

ABSTRACT

After an elementary presentation of the relation between supersymmetric nonlinear sigma models and geometry, I focus on 2D and the target space geometry allowed when there is an extra supersymmetry. This leads to a brief introduction to generalized complex geometry, a notion introduced recently by Hitchin which interpolates between complex and symplectic manifolds. Finally I present worldsheet realizations of this geometry,

研究の動機と目的

• 2次元の拡張超対称性を持つ超対称的非線形σ模型の標的空間幾何を理解すること。
• マニフェストなオフシェル・超対称性を持つ$\mathcal{N}=(2,2)$σ模型を形式化する長年の問題に取り組むこと。
• $B$-場が局所的ポテンシャルではなくグローバルな幾何的対象となるような幾何的枠組みを提供すること。
• 一般化複素幾何（GCG）が、これらのモデルにおける追加の超対称性の閉包条件を自然に符号化することを示すこと。
• GCGが、既知のバイ・ヘルミート幾何やケーラー幾何を超えた、このようなモデルの最も一般な標的空間幾何を提供するかを調査すること。

提案手法

• 本稿は、キラルおよびアンチキラル超多重項の変換係数を用いて、$\mathcal{N}=(2,2)$および$\mathcal{N}=(2,0)$σ模型のスーパーシンメトリー代数を分析する。
• 一般化複素構造$\mathcal{J} = \begin{pmatrix} J & P \\ L & K \end{pmatrix}$を導入し、ここで$J$はほぼ複素構造であり、$P,L,K$は計量および$B$-場のデータを符号化するテンソル場である。
• スーパーシンメトリー代数の閉包性が、一般化複素構造を定義する統合条件$[\mathcal{J}, \mathcal{J}]_{{\rm{Nij}}}=0$に等しいことが示され、これが一般化複素構造を定義する。
• 作用は一般化計量$E_{\mu\nu} = G_{\mu\nu} + B_{\mu\nu}$を用いて記述され、超多重項の変換則を用いてスーパーシンメトリーに対する不変性が分析される。
• $\mathcal{N}=(2,0)$モデルに対して、$J, P, L, K$に関する条件が導かれ、特定の形$\mathcal{J} = \begin{pmatrix} J & 0 \\ L & -J^t \end{pmatrix}$に簡略化され、$L_{\mu\nu} = J^\rho_{[\nu} b_{\mu]\rho}$を満たす。
• トポロジカル実現およびオフシェル実現への拡張が行われ、一般化複素構造がトポロジカル・ツイストや高次導関数項の自然な設定を提供することが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化複素幾何は、$B$-場を伴う$\mathcal{N}=(2,2)$非線形σ模型に対して統一的な幾何的枠組みを提供できるか？
• RQ2 一般化複素構造$\mathcal{J}$は、これらのモデルにおけるオフシェルでのスーパーシンメトリー代数の閉包条件を完全に符号化しているか？
• RQ3 一般化複素幾何内での$B$-場の幾何的役割は、その場の強度を越えて完全に捉えられているか？
• RQ4 GCG枠組み内で$\mathcal{N}=(2,2)$モデルの全制約条件を解くことは可能か、それともGCGを超える一般化が必要か？
• RQ5 GCGは、トポロジカル・ストリング理論の構成およびオープンσ模型における境界条件にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 一般化複素構造$\mathcal{J}$は、複素幾何、シンプレクティック幾何、バイ・ヘルミート幾何を統合し、$\mathcal{N}=(2,2)$σ模型の自然な枠組みを提供する。
• スーパーシンメトリー代数の閉包性と作用の不変性は、一般化複素構造を定義する統合条件$[\mathcal{J}, \mathcal{J}]_{{\rm{Nij}}}=0$に等しく、これが一般化複素構造を定義する。
• $\mathcal{N}=(2,0)$モデルに対して、$\mathcal{J} = \begin{pmatrix} J & 0 \\ L & -J^t \end{pmatrix}$の形で解が得られ、$L_{\mu\nu} = J^\rho_{[\nu} b_{\mu]\rho}$および$\nabla^{(+)}_{\mu}J_{\nu\rho}=0$を満たす。
• $B$-場は一般化複素構造を通じてグローバルな幾何的意味を獲得し、従来の形式化における局所的性質が解消される。
• この枠組みにより、高次導関数項や非可逆な$E_{\mu\nu}$の取り入れが可能となり、標準的なσ模型の構成を超えた有効作用が拡張される。
• 本稿は、ねじれを持つリッチテンソル$R^{\pm}_{\mu\nu}$を用いて定義される第一チャーン類の消滅が、カービー＝ヤウの場合と同様にトポロジカル・ストリングの構成の基準である可能性を示唆している。