[論文レビュー] Generalized covariation for Banach valued processes and Itô formula

Cristina Di Girolami, Francesco Russo|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2010

Advanced Banach Space Theory参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、バナッハ空間の双対空間の射影テンソル積を用いた双対性に基づく枠組みを用いて、バナッハ空間値過程における共変動および2次変動の一般化された概念を導入する。この研究は、メティヴィエ＝ペラマールおよびジンクレアヌのアプローチを拡張し、新たな共変動クラス（\mathcal{M}-共変動と呼ぶ）を定義する。このクラスは窓過程に適用可能であり、双対空間を完全に使用した場合には標準的な2次変動に回復する。これにより、拡張された伊藤の公式を用いて、より広いクラスのセミマルティングレル型過程を解析可能となる。

ABSTRACT

This paper concerns the notion of quadratic variation and covariation for Banach valued processes and related Ito formula. If X and Y take respectively values in Banach spaces B1 and B2 (denoted by (B1ˆ �B2) � ) andis a suitable subspace of the dual of the projective tensor product of B1 and B2 we define the so-called �-covariation of X and Y. If X = Y the �-covariation is called �-quadratic variation. The notion of �-quadratic variation is a natural generalization of the one introduced by Metivier-Pellaumail and Dinculeanu which is too restrictive for many applications. In particular, if � is the whole space (B1ˆ �B1) � then the �-quadratic variation coincides with the quadratic variation of a B1-valued semimartingale. We evaluate the �-covariation of various processes for several examples ofwith a particular attention to the case B1 = B2 = C(( �,0)) for some � > 0 and X and Y being window processes. If X is a real process, we call window process associated with X the C(( �,0))-valued process X := X(·) defined by Xt(y) = Xt+y, where y 2 ( �,0). (2010 Math Subject Classification: ) 60G05, 60G07, 60G22, 60䠰5, 60䠹9.

研究の動機と目的

• メティヴィエ＝ペラマールおよびジンクレアヌの枠組みに制限を受けることなく、バナッハ空間値過程における2次変動および共変動の概念を一般化すること。
• バナッハ空間 B1 と B2 の射影テンソル積の双対空間の適切な部分空間 \mathcal{M} を用いて、\mathcal{M}-共変動と呼ばれる新たな共変動クラスを定義すること。
• この一般化された共変動枠組みを用いて、バナッハ空間値セミマルティングレル過程に適用可能な伊藤の公式を確立すること。
• B1 = B2 = C((-T,0)) であり、X, Y が実数値過程である場合の窓過程における \mathcal{M}-共変動を分析すること。
• 特に無限次元設定において、この枠組みが具体的な確率過程にどのように適用可能であるかを示すこと。

提案手法

• バナッハ空間 B1 と B2 の射影テンソル積 B1ˆ \otimes B2 の双対空間の部分空間 \mathcal{M} を用いて、2つのバナッハ空間値過程 X と Y の \mathcal{M}-共変動を定義する。
• \mathcal{M} と射影テンソル積の間の双対性ペアリングを用いて、古典的2次変動を一般化する一般化されたブレケット過程を定義する。
• 窓過程にこの枠組みを適用する。ここで、X は実数値過程であり、窓過程は Xt(y) = Xt+y (y ∈ (-T,0)) で定義され、C((-T,0)) に値をとる。
• \mathcal{M} が射影テンソル積 B1ˆ \otimes B1 の完全な双対空間である場合に、\mathcal{M}-2次変動が B1-値セミマルティングレル過程の標準的2次変動と一致する条件を確立する。
• \mathcal{M}-共変動に基づくバナッハ空間値セミマルティングレル過程のための伊藤の公式を導出する。これにより、古典的伊藤の公式が無限次元設定に拡張される。
• 特に C((-T,0)) 内の連続的および右連続左極限をもつ（càdlàg）過程のケースにおいて、具体的な例について \mathcal{M}-共変動を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既存の枠組みの制限を超えて、バナッハ空間値過程における2次変動の概念をどのように一般化できるか？
• RQ2 異なるバナッハ空間における意味のある共変動を定義するために、射影テンソル積の双対空間が果たす役割は何か？
• RQ3 双対空間を完全に使用した場合に、\mathcal{M}-共変動がどのように古典的2次変動に回復されるか？
• RQ4 基礎となる過程が実数値である場合に、C((-T,0)) 内の窓過程における一般化された共変動はどのように振る舞うか？
• RQ5 バナッハ空間値セミマルティングレル過程に対して、この一般化された共変動枠組みを用いて伊藤の公式を導出できるか？

主な発見

• \mathcal{M}-共変動は、特に \mathcal{M} が射影テンソル積 B1ˆ \otimes B1 の完全な双対空間である場合、バナッハ空間値セミマルティングレル過程における古典的2次変動を一般化する。
• C((-T,0)) 内の窓過程に対しては、\mathcal{M}-共変動が無限次元空間における経路的変動を解析するための取り扱いやすい枠組みを提供する。
• \mathcal{M} が完全な双対空間である場合、この枠組みは標準的2次変動を回復するため、既知の結果と整合性があることが検証される。
• \mathcal{M}-共変動を用いて導出された伊藤の公式は、古典的確率積分をバナッハ空間値過程に拡張し、無限次元における確率積分および微分を可能にする。
• 窓過程の構成を用いることで、非マルコフ的かつ経路依存的な設定における共変動の評価が可能になる。
• このアプローチは連続的および不連続的セミマルティングレル過程の両方に適用可能であり、バナッハ空間における確率解析の範囲を広げる。