[論文レビュー] Generalized covering space theories

Jeremy Brazas|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 24被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、経路連結空間の圏を介して一意的上げ特性を通じて被覆を定義することにより、一般化被覆空間理論の統一的な圏的枠組みを導入する。コアリフレクティブ包を用いることで、モノドロミーを介した $π_1(X,x_0)$-集合の圏が $π_1$-部分群構造を完全に捉えることができると示され、主要な結果として $Δ$-被覆が普遍的であり、$Ø$-被覆（ファン被覆）には自然な商位相が存在し、連続的経路上げを特徴づけることが判明する。

ABSTRACT

In this paper, we unify various approaches to generalized covering space theory by introducing a categorical framework in which coverings are defined purely in terms of unique lifting properties. For each category $\mathcal{C}$ of path-connected spaces having the unit disk as an object, we construct a category of $\mathcal{C}$-coverings over a given space $X$ that embeds in the category of $π_1(X,x_0)$-sets via the usual monodromy action on fibers. When $\mathcal{C}$ is extended to its coreflective hull $\mathscr{H}(\mathcal{C})$, the resulting category of based $\mathscr{H}(\mathcal{C})$-coverings is complete, has an initial object, and often characterizes more of the subgroup lattice of $π_1(X,x_0)$ than traditional covering spaces. We apply our results to three special coreflective subcategories: (1) The category of $Δ$-coverings employs the convenient category of $Δ$-generated spaces and is universal in the sense that it contains every other generalized covering category as a subcategory. (2) In the locally path-connected category, we preserve notion of generalized covering due to Fischer and Zastrow and characterize the topology of such coverings using the standard whisker topology. (3) By employing the coreflective hull $\mathbf{Fan}$ of the category of all contractible spaces, we characterize the notion of continuous lifting of paths and identify the topology of $\mathbf{Fan}$-coverings as the natural quotient topology inherited from the path space.

研究の動機と目的

• 一般化被覆空間理論の異なる手法を、一意的上げ特性に基づく単一の圏的枠組みに統合すること。
• 非半局所的に単連結でない空間における基本群の部分群が、一意的上げ特性によってどのように特徴づけられるかを明確化すること。
• モノドロミー関手が本質的に全射となる条件を同定し、$π_1(X,x_0)$ のすべての部分群を捉えること。
• 一般化被覆空間の位相的構造を商位相とワイスカー位相の観点から特徴づけること。
• 普遍的 $Δ$-被覆の普遍性と、パス上げ特徴づけにおけるコアリフレクティブ包 $\mathbf{Fan}$ の役割を確立すること。

提案手法

• 経路連結空間で単位円板を含む圏 $\mathcal{C}$ に対して、一意的上げ特性を通じて $\mathcal{C}$-被覆を定義する。
• $\mathbf{Cov}_{\mathcal{C}}(X)$ から $\pi_1(X,x_0)\mathbf{Set}$ への完全忠実なモノドロミー関手 $\mu$ を構成し、$\mathcal{C}$-被覆を $\pi_1$-集合へ埋め込む。
• コアリフレクティブ包 $\mathscr{H}(\mathcal{C})$ を用いて、基点付き $\mathscr{H}(\mathcal{C})$-被覆の圏における完全性と初期対象の存在を保証する。
• $Δ$-生成空間を用いて普遍的 $Δ$-被覆を定義する便利な圏を導入し、これにより他のすべての $\mathcal{C}$-被覆圏が包含されることを示す。
• $\mathbf{Fan}$-被覆は経路空間 $P(X,x_0)$ 上の商位相を用いて特徴づけられ、$\widetilde{X}_H^{qtop}$ がモデル空間として機能する。
• $\mathbf{Fan}$-被覆における連続的経路上げが、商写像構造を通じた一意的経路上げ特性と同値であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一意的上げ特性に基づく単一の圏的枠組みで、一般化被覆空間理論をどのように統合できるか。
• RQ2 モノドロミー関手が $π_1(X,x_0)$ のすべての部分群を捉える、すなわち本質的に全射となるための条件は何か。
• RQ3 $\mathbf{Fan}$-被覆を用いて定義された一般化被覆空間の位相的構造は何か。また、これは経路空間位相とどのように関係するか。
• RQ4 $Δ$-被覆がすべての一般化被覆圏においてなぜ普遍的であるか。
• RQ5 ワイスカー位相と $\mathbf{Fan}$-被覆における商位相の比較は何か。また、これらがいつ一致するか。

主な発見

• $X$ 上の $\mathcal{C}$-被覆の圏はモノドロミー関手を介して $\pi_1(X,x_0)$-集合の圏に完全に埋め込まれるため、各 $\mathcal{C}$-被覆はそのファイバー安定化部分群の共轭類によって分類される。
• $Δ$-被覆は普遍的である：他の任意の $\mathcal{C}$-被覆圏は $Δ$-被覆の圏に完全忠実に埋め込まれる。
• $\mathbf{Fan}$-被覆において、被覆空間 $\widetilde{X}_H^{qtop}$ の位相は経路空間 $P(X,x_0)$ から誘導される商位相であり、この位相が連続的経路上げを特徴づける。
• $\mathbf{Fan}$-被覆 $p_H: \widetilde{X}_H^{qtop} \to X$ が連続的経路を上げるための必要十分条件は、一意的経路上げ特性を満たすことである。
• 基準写像 $\hat{p}: \widehat{X} \to \widetilde{X}_H^{qtop}$ が $\widehat{X}$ が $\mathbf{Fan}$-被覆であるとき、同相写像であることが示され、このことから商位相がこのような被覆に適切な位相であることが証明される。
• $H$ が $\mathbf{Fan}$-被覆部分群であるとき、$\widetilde{X}_H$ 上のワイスカー位相は商位相と一致するため、$lpc(\widetilde{X}_H^{qtop}) \cong \widetilde{X}_H$ が成り立つ。