[論文レビュー] Generalized Cramer-Rao relations for non-relativistic quantum systems

J. S. Dehesa, Angelo Plastino+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2010

Quantum Information and Cryptography参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、$ D $次元の非相対論的量子系における、無限大領域および有界領域の両方において、Cramér-Rao積 $ F\langle\mathbf{x}^2\rangle $ の最小値を導出する。無限大領域では調和振動子の基底状態が最小値を達成し、有界領域では量子無限井戸（量子ボックス）の基底状態が最小値を達成することを示し、フィッシャー情報量、量子基底状態、情報理論的不等式の間の根本的な関係を確立する。

ABSTRACT

The Cramer-Rao product of the Fisher information and the variance of a probability density ρ(x), defined on a domain Δ\in R^D, is found to have a minimum value reached by the density associated with the ground state of the harmonic oscillator in Δ, when Δis an unbounded domain. If Δis bounded, the minimum value of the Fisher information is achieved by the ground state of the quantum box described itself by this domain.

研究の動機と目的

• 無限大領域における$ D $次元の確率密度が、Cramér-Rao積 $ F\langle\mathbf{x}^2\rangle $ を最小化する確率密度を特定すること。
• 有界領域における$ D $次元の確率密度が、フィッシャー情報量を最小化する確率密度を特定すること。
• 最小化子と、調和振動子および無限井戸という基本的量子系の基底状態との間の関係を確立すること。
• BecherとVignatによる一次元の結果を、より高次元の非相対論的量子系へ一般化すること。

提案手法

• 正規化および分散の制約を含む、制約付き変分法を用いて最小化問題を定式化する。
• フィッシャー情報量、正規化、分散の制約を含むラグランジアンから、オイラー＝ラグランジュ方程式を導出する。
• 得られた微分方程式が、無限大領域では調和ポテンシャルを伴うシュレーディンガー方程式に、有界領域では無限井戸ポテンシャルを伴うシュレーディンガー方程式に一致することを特定する。
• バーチャル定理を用いて、最小Cramér-Rao積を対応する量子系の基底状態エネルギーに関連付ける。
• 基底状態の唯一の特徴（節がないこと）を用いて、有界領域におけるフィッシャー情報量の最小化に、基底状態のみが寄与することを証明する。
• 長方形領域におけるシュレーディンガー方程式の厳密解を用いて、フィッシャー情報量および分散の明示的値を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限大領域における$ D $次元の確率密度の中で、Cramér-Rao積 $ F\langle\mathbf{x}^2\rangle $ を最小化するのはどれか？
• RQ2 有界領域における$ D $次元の量子状態の中で、フィッシャー情報量を最小化するのはどれか？
• RQ3 無限大領域における最小Cramér-Rao積は、基底状態エネルギーとどのように関係しているか？
• RQ4 有界領域における最小化子は、無限井戸の基底状態として特定できるか？
• RQ5 長方形2次元領域における最小Cramér-Rao積の定量的値は何か？

主な発見

• 無限大領域におけるCramér-Rao積 $ F\langle\mathbf{x}^2\rangle $ の最小値は、$ D $次元調和振動子の基底状態によって達成され、その積は基底状態エネルギー $ E $ に対して $ E^2 $ に等しい。
• 有界領域では、領域の境界によって定義される量子無限井戸の基底状態が、最小フィッシャー情報量を達成する。
• 長方形2次元領域 $ \Delta = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : 0<x<2, -1<y<2\} $ において、最小Cramér-Rao積は約23.875であり、量子数 $ n_1 = n_2 = 1 $ の基底状態によって達成される。
• 無限井戸の基底状態は、ゼロ点を持たない唯一の固有状態であるため、有界領域におけるフィッシャー情報量の最小化に、それが一意に特定されることを示す。
• 2次元長方形ボックスにおける基底状態のフィッシャー情報量は $ F[\rho_{1,1}] = \frac{13\pi^2}{9} $ であり、分散 $ \langle x^2 + y^2 \rangle_{1,1} = \frac{7}{3} - \frac{13}{2\pi^2} $ である。
• 最小Cramér-Rao積はスケール不変であり、ポテンシャルの強さパrameter $ \beta $ に依存しない。これにより、普遍的な下界が存在することが確認される。