[論文レビュー] Generalized degrees and densities for families of sets

Emanuel Knill|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 1994

Mathematical Approximation and Integration被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、集合族に対する一般化された次数と密度を導入し、構造的制約の下で局所的にk広い族（各要素が高々k個の集合に属する）のサイズに対する線形な上限を確立する。中心的で局所的にk広い族が |F| ≤ (k+1)(n−k/2) を満たし、これがタイトな上限であることを証明する。さらに、半順序集合や分配束に対する密度枠組みを構築し、和集合閉じた集合族の予想を一般化し、特定の束における密度性質を証明する。

ABSTRACT

Let F be a family of subsets of {1,2,...,n}. The width-degree of an element x in at least one member of F is the width of the family {U in F | x in U}. If F has maximum width-degree at most k, then F is locally k-wide. Bounds on the size of locally k-wide families of sets are established. If F is locally k-wide and centered (every U in F has an element which does not belong to any member of F incomparable to U), then |F| <= (k+1)(n-k/2); this bound is best possible. Nearly exact bounds, linear in n and k, on the size of locally k-wide families of arcs or segments are determined. If F is any locally k-wide family of sets, then |F| is linearly bounded in n. The proof of this result involves an analysis of the combinatorics of antichains. Let P be a poset and L a semilattice (or an intersection-closed family of sets). The P-size of L is |L^P|. For u in L, the P-density of u is the ratio |[u)^P|/|L^P|. The density of u is given by the [1]-density of u. Let p be the number of filters of P. L has the P-density property iff there is a join-irreducible a in L such that the P-density of a is at most 1/p Which non-trivial semilattices have the P-density property? For P=[1], it has been conjectured that the answer is: "all" (the union-closed sets conjecture). Certain subdirect products of lower-semimodular lattices and, for P=[n], of geometric lattices have the P-density property in a strong sense. This generalizes some previously known results. A fixed lattice has the [n]-density property if n is large enough. The density of a generator U of a union-closed family of sets L containing the empty set is estimated. The estimate depends only on the local properties of L at U. If L is generated by sets of size at most two, then there is a generator U of L with estimated density at most 1/2.

研究の動機と目的

• 標準的な組合せ的設定を超えて、集合族における次数と密度の概念を一般化すること。
• 中心性の制約の下で、局所的にk広い族のサイズに対するタイトな線形上界を確立すること。
• 半順序集合や半束に対してP密度枠組みを導入することで、和集合閉じた集合族の予想を拡張すること。
• 特にサイズが2以下の集合によって生成される和集合閉じた族における生成子の密度を分析すること。
• 特定の半順序集合P（[1]や[n]を含む）に対して、どの半束や束がP密度性質を満たすかを同定すること。

提案手法

• 要素の幅次数（その要素を含む集合の最大数）を定義し、これにより局所的にk広い族の概念を導入する。
• 半束Lにおける要素のPサイズおよびP密度（Pは半順序集合）を定義することで、密度測度を一般化する。
• 反鎖の組合せ論とフィルター構造を用いて、局所的にk広い族の極値的サイズを分析する。
• 族が中心的で局所的にk広いならば、そのサイズは (k+1)(n−k/2) で抑えられ、等号が成立しうることを証明する。
• 下半モジュラー束および幾何的束の部分直積の一部が、強い意味でP密度性質を満たすことを確立する。
• 局所的な構造的性質に基づいて、和集合閉じた族における生成子の密度を推定し、サイズ≤2の集合によって生成される場合、ある生成子の密度が≤1/2であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 集合{1,…,n}の部分集合族として、中心的で局所的にk広い族の最大サイズは何か？
• RQ2 非自明な半束のうち、与えられた半順序集合Pに対してP密度性質を満たすものはどれか？
• RQ3 任意の有限束は、十分に大きなnに対して[n]-密度性質を満たすか？
• RQ4 生成子の周囲の局所的情報のみを用いて、和集合閉じた族における生成子の密度を抑えられるか？
• RQ5 一般化された次数と密度は、和集合閉じた集合族の予想や関連する極値的集合論の問題をどのように拡張するか？

主な発見

• 中心的で局所的にk広い族F（{1,…,n}の部分集合族）のサイズは、(k+1)(n−k/2) 以下であり、この上限はタイトである。
• 弧や区間の族に対して局所的にk広い族について、nとkに関してほぼ正確な線形上限が確立され、線形成長が確認された。
• 下半モジュラー束および幾何的束の一部の部分直積は、特にP=[n]の場合にP密度性質を満たす。
• 任意の固定された有限束は、十分に大きなすべてのnに対して[n]-密度性質を満たす。
• サイズが2以下の集合によって生成される和集合閉じた族において、P密度が1/2以下である生成子が存在し、これは局所的構造からのみ推定可能である。
• [1]-密度性質は、すべての和集合閉じた族に対して成り立つと予想されている。これは、和集合閉じた集合族の予想を一般化する。