[論文レビュー] Generalized Delaunay Graphs with respect to any Convex Set are Plane Graphs

Deniz Sarıöz|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2010

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、任意の凸集合 C を用いて定義される一般化されたデローラン図グラフが、C の平行移動または正のスケール変換（同型体）を用いる場合、C が有界であるか閉集合であるかに関わらず、常に平面グラフであることを証明している。主な結果は、C が凸であるという唯一の条件のもとで、両方のグラフタイプの平面性を確立している。これは、従来の結果がコンパクト性や有界性を要件としていたのを拡張したものである。

ABSTRACT

We consider two types of geometric graphs on point sets on the plane based on a plane set C: one obtained by translates of C, another by positively scaled translates (homothets) of C. For compact and convex C, graphs defined by scaled translates of C, i.e., Delaunay graphs based on C, are known to be plane graphs. We show that as long as C is convex, both types of graphs are plane graphs.

研究の動機と目的

• 凸集合 C の平行移動に基づく一般化されたデローラン図グラフの平面性を確立すること。
• 従来の結果が C がコンパクトかつ凸であることを要件としていたのを、任意の凸集合（有界でないか、閉集合でないものも含む）にまで拡張すること。
• ヤーノシュ・パッチが提起した、このようなグラフの平面性に関する未解決問題を解消すること。
• 平行移動に基づくおよび同型体に基づく両方の一般化されたデローラン図グラフに対して、統一的な幾何学的証明を提供すること。

提案手法

• 2種類のグラフタイプを定義する：$ G_t(P,C) $ は C の平行移動に基づき、$ G_{st}(P,C) $ は C の正のスケール変換（同型体）に基づく。
• 2つの交差する凸集合間の平行移動ベクトルに一致する座標系を用いて、x座標を用いた位置比較を行う。
• 凸性を適用し、$ C_1 \setminus C_2 $ に属する点と $ C_2 $ に属する点が存在する場合、前者の点は後者よりもx方向において左側にあることを示す。
• 点が $ C_1 \setminus C_2 $ に属する場合、$ C_2 $ の線分の左側に存在することはできず、これによりエッジの交差を防ぐ。
• 極座標系（スケーリング原点を中心とする）に切り替えることで、スケーリングに適応した証明を構築する。ここで、半径 $ r $ と角度 $ \theta $ を用いる。
• 等しい $ \theta $ における半径距離を用いて順序関係 $<$ を再定義し、同じ凸性に基づく背理法を再適用することで、エッジの交差を排除する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 凸集合 C の平行移動に基づく一般化されたデローラン図グラフは、C が有界でないか、閉集合でない場合でも常に平面グラフであるか？
• RQ2 コンパクト性を要件としない限り、凸集合 C のスケーリング（同型体）に基づく一般化されたデローラン図グラフの平面性は拡張可能か？
• RQ3 標準的なディスクベースのデローラン三角形分割の証明技法は、幾何学的および凸性の議論を用いて、任意の凸集合へ一般化可能か？
• RQ4 C が凸ではあるがコンパクトでも閉集合でもない場合、$ G_{st}(P,C) $ のエッジが交差することは可能か？

主な発見

• 任意の有限点集合 $ P $ に対して、C が凸である限り、一般化されたデローラン図グラフ $ G_t(P,C) $ は平面グラフである。
• 同様に、同型体に基づくグラフ $ G_{st}(P,C) $ に対しても、C が凸であるという条件のもとで同じ結果が成り立つ。
• エッジの交差を防ぐために、座標比較（x座標または半径距離）と凸性に基づく幾何学的順序付けの議論に依存している。
• C が有界でないか、閉集合でない場合でも、この結果は成り立ち、従来のコンパクト性を要件としていた結果を拡張している。
• 鍵となる洞察は、凸性により、$ C_1 \setminus C_2 $ に属する点が $ C_2 $ の線分の「内側」に位置することはできないことである。これにより、交差が遮断される。
• 標準的なディスクベースのデローランの場合から、任意の凸集合へと一般化され、すべての凸距離関数に対して平面性の結果が統一的に得られる。