[論文レビュー] Generalized description of intermittency in turbulence via stochastic methods

Jan Friedrich, Rainer Grauer|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2016

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 38被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、確率過程を用いて乱流の不規則性の一般化を試み、すべての主要な物性的モデルがマークフ・プロセス仮定の下での速度増分統計のクラメール＝モーヤル展開から導出可能であることを示している。主な発見は、不規則性の正確なモデル化には無限個のクラメール＝モーヤル係数が必要であり、Fokker-Planckアプローチにおける係数の切断は、確率密度関数の裾部の誤った振る舞いを引き起こすということである。

ABSTRACT

We present a generalized picture of intermittency in turbulence that is based on the theory of stochastic processes. To this end, we rely on the experimentally and numerically verified finding by R.~Friedrich and J.~Peinke [Phys. Rev. Lett. 78, 863 (1997)] that allows for an interpretation of the turbulent energy cascade as a Markov process of the velocity increments in scale. It is explicitly shown that all known phenomenological models of turbulence can be reproduced by the Kramers-Moyal expansion of the velocity increment probability density function that is associated to a Markov process. We compare the different sets of Kramers-Moyal coefficients of each phenomenology and deduce that an accurate description of intermittency should take into account an infinite number of coefficients. This is demonstrated in more detail for the case of Burgers turbulence that exhibits the strongest intermittency effects. Moreover, the influence of nonlocality on the Kramers-Moyal coefficients is investigated by direct numerical simulations of a generalized Burgers equation. Depending on the balance between nonlinearity and nonlocality, we encounter different intermittency behaviour that ranges from self-similarity (purely nonlocal case) to intermittent behaviour (intermediate case that agrees with Yakhot's mean field theory [Phys. Rev. E 63 026307 (2001)]) to shock-like behaviour (purely nonlinear Burgers case).

研究の動機と目的

• スケール間の速度増分のマルコフ性に基づき、乱流不規則性を記述する統一された確率的フレームワークの構築を目的とする。
• 代表的な物性的モデル（例：K62、She-Leveque）が、クラメール＝モーヤル係数の特定の選択から導出可能であることを示す。
• クラメール＝モーヤル展開を切断すること（Fokker-Planckアプローチで一般的に行われる）が、不規則性の記述、特にPDFの裾部において誤りを生じることを示す。
• 一般化されたバーゲル方程式の直接数値シミュレーションを用いて、非局所性と非線形性がクラメール＝モーヤル係数の構造に与える影響を調査する。
• この確率的アプローチを、完全なナビエ＝ストークス乱流に拡張する基盤を提供すること。

提案手法

• スケールにおけるエネルギーキャスケードを、速度増分がクラメール＝モーヤル展開に従うマルコフ過程としてモデル化する。
• クラメール＝モーヤル展開を用いて、速度増分の遷移確率密度関数に対するFokker-Planck型方程式を導出する。
• 適切なクラメール＝モーヤル係数（特にドリフト項と拡散項）を選択することで、既知の物性的モデル（例：K62、Castaing、Yakhot）を再現する。
• 高次クラメール＝モーヤル係数の漸近的挙動を分析し、不規則性モデリングの正確性に必要な要因を評価する。
• 非線形性と非局所性を調整可能な一般化されたバーゲル方程式の直接数値シミュレーションを実施し、クラメール＝モーヤル係数のシステムパラメータ依存性を計算・解析する。
• メリン変換と対数正規型の仮定を用いて、遷移PDFの解析的解を導出し、物性的モデルと比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既知のすべての乱流物性的モデルが、クラメール＝モーヤル展開に基づく単一の確率的フレームワークから導出可能か？
• RQ2 高次クラメール＝モーヤル係数は、速度増分PDFの裾部を正確に記述するために果たす役割は何か？
• RQ3 一般化されたバーゲル方程式における非線形性と非局所性のバランスが、クラメール＝モーヤル係数の構造と不規則性挙動に与える影響は何か？
• RQ4 インertial範囲における速度増分のマルコフ性が、エネルギーキャスケードの確率的記述を支持する程度はどの程度か？
• RQ5 クラメール＝モーヤルアプローチは、十分な精度でナビエ＝ストークス乱流を記述できるか？

主な発見

• K62、She-Leveque、Castaingを含む、既知のすべての乱流物性的モデルが、クラメール＝モーヤル展開における適切な係数選択により再現可能である。
• K62モデルのクラメール＝モーヤル展開は、ドリフト係数 $ a = \frac{1}{3} + \frac{\mu}{6} $ および拡散係数 $ b = \frac{\mu}{18} $ に比例するFokker-Planck方程式を導出し、対数正規型の遷移PDFを生成する。
• K62モデルから導出された遷移確率密度関数は、$ r' = 1 $ のときYakhotの公式と一致し、十分に大きなスケールでは要求どおりにガウス分布に減少する。
• Castaingのモデルは、スケール依存のフィッティング関数 $ s_0(r) $ と $ \lambda(r) $ を導入することで、同じ解のより一般的な形として回復される。
• 一般化されたバーゲル方程式の数値的シミュレーションから、クラメール＝モーヤル係数が非線形性と非局所性のバランスに連続的に依存し、自己相似的（純粋に非局所的）、不規則的（中間的）、衝撃的（純粋に非線形的）な不規則性領域に分かれることが明らかになった。
• 分析により、不規則性の正確なモデリングには非ゼロの高次クラメール＝モーヤル係数が必要であることが確認され、Fokker-Planck近似（2次までの切断）では統計的挙動の完全な記述が不十分であることが示された。