[論文レビュー] Generalized difference Cesaro sequence spaces of fuzzy real numbers defined by Orlicz functions

Binod Chandra Tripathy, Stuti Borgohain|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2015

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、オルリッチ関数を用いて、一般化された差分セザロ列空間を、ファジィ実数へと拡張する。古典的列空間理論をファジィ設定へと拡張し、位相的性質、包含関係、完備性を確立する。既存の差分およびセザロ列空間に関する研究を一般化する。

ABSTRACT

In this paper we introduced the generalized difference Cesaro sequence spaces of fuzzy real numbers defined by Orlicz function. We study some topological properties of these spaces. We obtain some inclusion relations involving these sequence spaces. These notions generalize many notions on difference Cesaro sequence spaces.

研究の動機と目的

• 古典的な差分セザロ列空間を、オルリッチ関数を用いてファジィ実数へと一般化すること。
• ファジィ列空間の文脈において、完備性や収束といった位相的性質を調査すること。
• 新たに定義された列空間と関連する古典的空間との間の包含関係を確立すること。
• 差分およびセザロ列空間に関する既存の結果を、オルリッチ関数ノルムを用いたファジィ設定へと拡張すること。
• ファジィ数の列空間理論における複数の先行概念を統一的に一般化する枠組みを提供すること。

提案手法

• オルリッチ関数 M を用いて、ファジィ実数の一般化された差分セザロ列空間を定義し、$ C_{\infty}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $, $ O_{\infty}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $, $ C_{p}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $, $ O_{p}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $, および $ \ell_{p}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $ と表記する。
• 高階差分を定義するために、一般化された差分作用素 $ \Delta_{m}^{n}x_{k} = \sum_{r=0}^{n}(-1)^{r}\binom{n}{r}x_{k+rm} $ を使用する。
• 閉有界区間上の距離を測るため、$ \overline{d}(X,Y) = \max\{|X^{L}-Y^{L}|, |X^{R}-Y^{R}|\} $ を用いる。
• 正規化された距離 $ \overline{d}(\Delta_{m}^{n}X_{k}, \overline{0})/\rho $ にオルリッチ関数 M を適用し、セザロ平均 $ \frac{1}{i}\sum_{k=1}^{i} M(\cdots) $ を用いて収束を定義する。
• ノルム $ \|x\|_{\Delta_{m}^{n}} = \sum_{r=1}^{m}|x_{r}| + \sup_{k\geq1}|\Delta_{m}^{n}x_{k}| $ を用いて、ファジィ列に適応した位相的性質を証明する。
• 有界性および定義されたノルム下での収束を保証するため、オルリッチ関数に $ \Delta_{2} $-条件を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、オルリッチ関数を用いて、古典的なセザロおよび差分列空間をファジィ実数へ一般化できるか？
• RQ2 新たに定義されたファジィ列空間の位相的性質（完備性や収束など）は何か？
• RQ3 一般化されたファジィ列空間 $ C_{\infty}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $, $ O_{\infty}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $, $ C_{p}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $, $ O_{p}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $, および $ \ell_{p}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $ 間にどのような包含関係が成立するか？
• RQ4 特に $ \Delta_{2} $-条件を満たすオルリッチ関数の性質が、これらのファジィ列空間の挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ5 空間 $ C_{\infty}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $ は収束自由であるか？その構造にどのような含意があるか？

主な発見

• 反例により、一般に $ C_{\infty}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $ は収束自由でないことが示された。具体的には、ある $ \rho > 0 $ に対して $ \sup_{i}\frac{1}{i}\sum_{k=1}^{i}M(\overline{d}(\Delta_{m}^{n}X_{k},\overline{0})/\rho) = \infty $ となる。
• 包含関係 $ \ell_{p}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) \subset O_{p}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) \subset C_{p}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $ が成立し、$ 1 \leq p < \infty $ に対しては厳密である。
• $ 1 \leq p < q $ のとき、包含関係 $ C_{p}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) \subset C_{q}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $ および $ \ell_{p}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) \subset \ell_{q}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $ が確立された。
• すべての $ m \geq 1 $, $ n \geq 1 $ に対して、包含関係 $ C_{p}^{F}(M) \subset C_{p}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $ が成立し、一般化された空間が標準的なセザロ空間よりも大きいことを示している。
• オルリッチ関数 $ M_{1}, M_{2} $ が $ \Delta_{2} $-条件を満たすとき、$ Z(M_{1},\Delta_{m}^{n}) \subseteq Z(M \circ M_{1},\Delta_{m}^{n}) $ および $ Z(M_{1},\Delta_{m}^{n}) \cap Z(M_{2},\Delta_{m}^{n}) \subseteq Z(M_{1}+M_{2},\Delta_{m}^{n}) $ が成り立つ。ここで $ Z \in \{C_{\infty}^{F}, O_{\infty}^{F}, C_{p}^{F}, O_{p}^{F}, \ell_{p}^{F}\} $ である。
• $ i < n $ のとき、包含関係 $ Z(M,\Delta_{m}^{i}) \subset Z(M,\Delta_{m}^{n}) $ が成立し、高階差分が厳密に大きな列空間を生成することを示している。