[論文レビュー] Generalized Drinfeld-Sokolov Hierarchies and W-Algebras

L. Fehér|ArXiv.org|Nov 22, 1992

Advanced Algebra and Logic参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$gl_n$ を基とするループ代数の文脈において、ハミルトニアン対称性還元を用いて、ドリンフェルト＝ソコロフ階層および古典的W代数を一般化する。ヘイゼンベルク部分代数内の階数付き正則元を分類し、関連する可積分階層を構成し、各還元に対してゲージ不変微分多項式のW代数への$sl_2$埋め込みを特定することで、古典的W代数とその関連可積分系を統一的に扱う枠組みを提供する。

ABSTRACT

We review the construction of Drinfeld-Sokolov type hierarchies and classical W-algebras in a Hamiltonian symmetry reduction framework. We describe the list of graded regular elements in the Heisenberg subalgebras of the nontwisted loop algebra based on $gl_n$ and deal with the associated hierarchies. We exhibit an $sl_2$ embedding for each reduction of a Kac-Moody Poisson bracket algebra to a W-algebra of gauge invariant differential polynomials.

研究の動機と目的

• ハミルトニアン対称性還元を用いて、$A_n$ 場合に限らない一般化された階層へのドリンフェルト＝ソコロフ構成の拡張を図ること。
• 非ねじれループ代数 $gl_n$ のヘイゼンベルク部分代数における階数付き正則元の分類を行うこと。
• これらの元と関連する可積分階層との間の体系的対応を確立すること。
• 各還元に対して、ゲージ不変微分多項式のW代数への$sl_2$ 埋め込みの存在を示すこと。
• 古典的W代数とその関連可積分系を統一的に扱う枠組みを提供すること。

提案手法

• カク＝ムーディのポアソン括弧代数から出発し、ハミルトニアン対称性還元を用いてドリンフェルト＝ソコロフ型階層を構成する。
• 非ねじれループ代数 $gl_n$ のヘイゼンベルク部分代数内における階数付き正則元を特定し、分類する。
• カク＝ムーディ代数にドリンフェルト＝ソコロフ還元手続きを適用し、還元されたポアソン代数を得る。
• ゲージ不変微分多項式としてのW代数を、対称性還元の下で構成する。
• 各還元に対して$sl_2$ 埋め込みを確立し、W代数の構造と$sl_2$-共変な力学の関係を結ぶ。
• 古典的W代数の枠組みをハミルトニアン還元を用いて、可積分階層の記述を統一的に扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、対称性還元を用いて、標準的な$A_n$ 場合を超えたドリンフェルト＝ソコロフ階層を一般化できるか？
• RQ2 $gl_n$ ループ代数のヘイゼンベルク部分代数における階数付き正則元の完全な分類は何か？
• RQ3 得られたW代数は、元のカク＝ムーディポアソン代数構造とどのように関係するか？
• RQ4 $sl_2$ 埋め込みは、還元されたW代数の特徴づけにおいて果たす役割は何か？
• RQ5 すべてのこのような階数付き正則元に対して、ハミルトニアン還元を用いて古典的W代数を一様に構成できるか？

主な発見

• 非ねじれループ代数 $gl_n$ のヘイゼンベルク部分代数における階数付き正則元の完全な分類が達成された。
• 各階数付き正則元から、明確に定義されたドリンフェルト＝ソコロフ型可積分階層が得られる。
• 還元プロセスにより、ゲージ不変微分多項式としてのW代数構造が得られる。
• 各還元に対して、明示的に$sl_2$ 埋め込みが構成され、W代数と$sl_2$-共変な力学の関係が結ばれる。
• ハミルトニアン還元を用いた枠組みにより、古典的W代数とその関連可積分系の構成が統一された。
• この方法により、$gl_n$ を基とするカク＝ムーディ代数から古典的W代数を体系的かつ一般に構成するアプローチが提供された。