[論文レビュー] Generalized Finite Element Systems for smooth differential forms and Stokes problem

Snorre H. Christiansen, Kaibo Hu|arXiv (Cornell University)|May 27, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 18被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、微分形式の高正則性有限要素複体を構築するための一般化された有限要素システム（FES）フレームワークを導入し、連続または不連続な圧力を持つストークス問題の適合混合有限要素を可能にする。この手法は代数的整合性条件を通じて可換な補間子を保証し、2次元および3次元における最小の多項式ベースの複合要素を構築する。これには、新たなC1連続ベクトル場および連続性が向上したストークスペアが含まれる。

ABSTRACT

We provide both a general framework for discretizing de Rham sequences of differential forms of high regularity, and some examples of finite element spaces that fit in the framework. The general framework is an extension of the previously introduced notion of Finite Element Systems, and the examples include conforming mixed finite elements for Stokes' equation. In dimension 2 we detail four low order finite element complexes and one infinite family of highorder finite element complexes. In dimension 3 we define one low order complex, which may be branched into Whitney forms at a chosen index. Stokes pairs with continuous or discontinuous pressure are provided in arbitrary dimension. The finite element spaces all consist of composite polynomials. The framework guarantees some nice properties of the spaces, in particular the existence of commuting interpolators. It also shows that some of the examples are minimal spaces.

研究の動機と目的

• 標準的なC0またはH1連続要素を超える、微分形式の高次連続性をサポートする一般化された有限要素システム（FES）フレームワークの開発。
• 特にk ≥ 1のk形式に対して、複合多項式基底関数を用いて高正則性の微分形式のための新しい有限要素空間を構築すること。
• 連続または不連続な圧力を備えたストークス問題の適合混合有限要素ペアを提供し、最適近似と安定性を保証すること。
• 外部微分と可換な補間子の存在を、自由度に対する代数的制約によって確立し、de Rham複体と整合することを保証すること。
• 特に2次元および3次元における低次のおよび高次のケースにおいて、構築された有限要素空間の最小性と一意存在性を示すこと。

提案手法

• 古典的FESフレームワークを拡張し、メッシュ界面における微分形式の高次連続性（例：C1）を符号化するための非プルバック制限作用素を許容する。
• 局所有限要素空間を、頂点、辺、面での共有値および微分を介して連続性を強制する、細分化された単体メッシュ上の複合多項式関数として定義する。
• 外部微分と可換な補間子を保証する一意存在性を満たす自由度として、調和自由度を標準的選択とする。
• 可換補間子の存在を活用し、平均化技術を用いて微分作用素と可換な有界射影を構築する。
• すべての次数の微分形式のde Rham型複体を構築し、特に3次元における新しい低次の複体を定義する。この複体はインデックス1または2でホイットニー形式に分岐可能である。
• 特に任意次元nにおけるℓ = n−1の場合に、次元数え上げの議論により空間の次元を計算し、一意存在性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 FESフレームワークを、C1連続ベクトル場などの高正則性微分形式をサポートするようにどのように一般化できるか？
• RQ2 滑らかな微分形式に対して可換補間子を持つde Rham複体を形成する最小の有限要素空間は何か？
• RQ3 連続な速度と、連続または不連続な圧力を備えた新しい適合混合有限要素をストークス問題に対して構築できるか？
• RQ4 頂点および辺での共有微分を有する複合多項式要素は、可換補間子の存在をどのように保証するか？
• RQ5 特に高次のおよび高次元のケースにおいて、得られた有限要素空間の次元および構造は何か？

主な発見

• 提案された一般化されたFESフレームワークは、C1連続微分形式を有する有限要素複体の構築を可能とし、高正則性離散化を実現する。
• 2次元では、4つの低次のおよび1つの無限系列の高次の有限要素複体が明示的に構築され、すべて可換補間子を有する。
• 3次元では、インデックス1または2でホイットニー形式に分岐可能な新しい低次の複体が定義され、不連続圧力を有するストークスペアをもたらす。
• 任意次元nにおいて、ℓ = n−1の場合は、dim A^{n−1}(S) = (n+1)^2 および dim A^n(S) = 1 となる最小複体が得られ、自由度の一意存在性が証明される。
• 構築された補間子は発散作用素と可換であり、安定性を保証し、inf-sup条件の証明を簡略化する。
• このフレームワークは、ストークス問題におけるinf-sup安定性の証明のためのマクロ要素技法の代替手段を提供する。代数的整合性と可換射影を活用する。