[論文レビュー] Generalized Floquet theory for open quantum systems

C. M. Dai, Hong Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2017

Quantum Mechanics and Applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、周波数の chirped な変化や振幅の ramping といった緩やかに変化するパラメータによって周期性が破れる、周期的駆動を受けるオープン量子系へフロケ理論を一般化する。時間発展演算子を緩やかに変化する有効生成子と周期的微動を記述する演算子に分解することで、高周波数展開を導出し、長時間スケールのダイナミクスを正確に記述する。これにより、現実的で非理想な駆動条件下におけるオープン量子系の制御が可能となる。

ABSTRACT

For a periodically driven open quantum system, the Floquet theorem states that the time evolution operator $Λ(t,0)$ of the system can be factorized as $Λ(t,0)=\mathcal{D}(t)e^{\mathcal{L}_{eff}t}$ with micro-motion operator $\mathcal{D}(t)$ possessing the same period as the external driving, and time-independent operator $\mathcal{L}_{eff}$. In this work, we extend this theorem to open systems that follow a modulated periodic evolution, in which the fast part is periodic while the slow part breaks the periodicity. We derive a factorization for the time evolution operator that separates the long time dynamics and the micro-motion for the open quantum system. High-frequency expansions for the effective evolution operator control the long time dynamics, and the micro-motion operator is also given and discussed. It may find applications in quantum engineering with open systems following modulated periodic evolution.

研究の動機と目的

• 厳密な周期的駆動を超えて、緩やかに変化するパラメータを伴うオープン量子系へのフロケ理論の拡張を図ること。
• 周波数chirpや振幅のrampingといった、周期的駆動が不完全な実用的状況を扱うこと。
• 長時間ダイナミクスと微動を分離する時間発展演算子の因数分解形を導出すること。
• 有効生成子と微動演算子の高周波数展開を構築し、正確なダイナミクスと一致させること。

提案手法

• 時間発展演算子 Λ(t,s) を、緩やかに変化する有効生成子 L_eff(t) と周期的微動演算子 D(t) の積に因数分解する。
• 有効周波数 ω_eff^(-1) の高周波数展開を用いて、L_eff(t) を2次までの順に体系的に計算する。
• f(t) や ω_d(t) などのパラメータでモデル化された、高速周期的成分と緩やかに変化する成分を併せ持つ時刻依存生成子 L(t) を導入する。
• 回転波近似とマグニス展開の手法を用いて、高速ダイナミクスと緩やかなダイナミクスを分離する。
• 1次展開から得られる時刻周期的スーパーオペレーターの指数関数として微動演算子 D(t) を構築する。
• 減衰を伴う駆動された調和振動子に対して、有効ダイナミクスと正確な解を比較することで、数値的妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 緩やかに変化するパラメータによって周期性が破れる場合、どのようにしてフロケ理論をオープン量子系へ一般化できるか？
• RQ2 生成子 L(t) が緩やかなパラメータで変調されるとき、時間発展演算子 Λ(t,s) の構造はどのようになるか？
• RQ3 有効生成子と微動演算子の高周波数展開は、このような系の長時間ダイナミクスをどの程度正確に捉えられるか？
• RQ4 chirped または ramped 駆動下において、有効生成子と微動演算子は正確なダイナミクスをどの程度再現できるか？
• RQ5 1つの強い駆動周波数と1つの弱い駆動周波数を伴う多周波数系に対しても、この形式的枠組みは適用可能か？

主な発見

• 時間発展演算子 Λ(t,s) は Λ(t,s) = D(t) exp[∫₀ᵗ L_eff(τ)dτ] と因数分解され、L_eff(t) が長時間ダイナミクスを支配し、D(t) が周期的微動を記述する。
• 有効生成子 L_eff(t) は、f(t) や ω_d(t) などの変調パラメータと同じ緩やかな時間スケールで変化する時間依存関数であり、ω_eff^(-1) の2次まで展開された形で導出される。
• 微動演算子 D(t) は、パラメータ α = -f(t)e^{iωt}/(2ω_eff) を持つディスプレースメント演算子として近似され、高速振動を捉える。
• 数値的結果では、L_eff を2次まで用いた有効ダイナミクスと正確なダイナミクスとの間に優れた一致が得られ、微動に起因する小さな振動を除いて良好な一致を示す。
• 駆動周波数 ω_d(t) がchirp（緩やかに変化）する場合でも、有効生成子は依然として定常状態の振る舞いを正確に記述し、時間平均の定常状態に到達することが示された。
• 弱い系-環境結合下でも形式的枠組みは有効であり、ω₁ ≫ ω₂ のような多周波数駆動状況へ自然に拡張可能である。