[論文レビュー] Generalized Fractional Order Derivatives, Its Properties and Applications

Ali Karcı|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2013

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、古典的微分の原則とロピタルの定理を用いて分数階微分（FOD）を再定義し、リーマン＝リウビルおよびカプトの既存手法における不整合を解消する。従来のFOD定式化は本質的に曲線適合近似であることが示され、多項式、指数関数、三角関数、対数関数のすべての関数に対して数学的に整合性と完全性を保証する一般化FOD定義を提案する。

ABSTRACT

The concept of fractional order derivative can be found in extensive range of many different subject areas. For this reason, the concept of fractional order derivative should be examined. After giving different methods mostly used in engineering and scientific applications, the omissions or errors of these methods will be discussed in this study. The mostly used methods are Euler, Riemann-Liouville and Caputo which are fractional order derivatives. The applications of these methods to constant and identity functions will be given in this study. Obtained results demonstrated that all of three methods have errors and deficiencies. In fact, the obtained results demonstrated that the methods given as fractional order derivatives are curve fitting methods or curve approximation methods. In this paper, we redefined fractional order derivative (FOD) by using classical derivative definition and L Hospital method, since classical derivative definition concluded in indefinite limit such as 0/0. The obtained definition is same as classical derivative definition in case of fractional order is equal to 1. This implies that definitions and theorems in this paper sound and complete. After defining the FOD concept, the applications of FOD for polynomial, exponential, trigonometric and logarithmic functions were handled in this study. The properties of FOD for positive monotonic increasing/decreasing functions were demonstrated in this paper. Another important point is that the relation between derivatives and complex functions were also verified in this paper.

研究の動機と目的

• オイラー、リーマン＝リウビル、カプトなど広く用いられている分数階微分手法における根本的な誤りおよび欠落を特定・是正すること。
• 古典的微分定義とロピタルの定理を用いて分数階微分を再定義し、0/0の不定形を解消すること。
• 分数階微分が1に等しい場合に古典的微分に一致するように新しいFOD定義を保証し、一貫性と完全性を確保すること。
• 正の単調関数に対する一般化FODの性質を分析し、複雑な関数における挙動を検証すること。
• 新しいFOD定式化が多項式、指数関数、三角関数、対数関数のすべての関数に適用可能で正しいことを示すこと。

提案手法

• 古典的微分定義を適用し、ロピタルの定理を用いて0/0の不定形を解消することで、分数階微分を再定式化する。
• 分数階微分が1のとき古典的微分と一致するように一般化FODを定義し、連続性と一貫性を確保する。
• 定数関数、恒等関数、多項式、指数関数、三角関数、対数関数に新しいFOD定義を適用し、正しさを検証する。
• 正の単調増加および単調減少関数に対する一般化FODの挙動を分析し、理論的性質を確立する。
• 一般化FODと複素関数との関係を検証し、理論的基盤を拡張する。
• 数学的証明を用いて、新しい定義が、既存手法が示す欠陥を回避することを示し、これらが曲線適合近似に過ぎないことを明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ従来の分数階微分手法（リーマン＝リウビルおよびカプト）は定数関数および恒等関数に適用した際に一貫性のない結果を生じるのか？
• RQ2 分数階微分が1のとき古典的微分に一致し、数学的に一貫性を保つ一般化FODを定義できるか？
• RQ3 既存の分数階微分定式化は、真の微分の一般化ではなく、根本的に曲線適合手法であるのだろうか？
• RQ4 提案された一般化FODは多項式、指数関数、三角関数、対数関数などの異なる関数クラスにおいてどのように挙動するのか？
• RQ5 一般化FODと複素関数との関係は何か？また、その基本的な解析的性質を保っているのか？

主な発見

• 提案された一般化FOD定義は数学的に整合的であり、分数階微分が1のとき正確に古典的微分に一致する。
• リーマン＝リウビルおよびカプトなどの従来手法は誤りを含んでおり、正確な微分ではなく、むしろ曲線適合や近似手法としてより適切に解釈されるべきであることが示された。
• 新しいFOD定式化は定数関数および恒等関数を正しく微分でき、従来手法に見られた主要な不整合を解消した。
• 一般化FODは多項式、指数関数、三角関数、対数関数に対して適切な挙動を示し、広範な適用可能性を示した。
• 正の増加および減少関数に対して単調性の性質を保ち、理論的整合性を確認した。
• 一般化FODと複素関数との関係が検証され、高度な解析的文脈での応用を支持するものとなった。