[論文レビュー] Generalized gauge actions on $k$-graph $C^*$-algebras: KMS states and Hausdorff structure

Carla Farsi, Elizabeth Gillaspy+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2018

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$k$-図$C^*$-代数における一般化されたゲージ作用の下でのKMS状態と、関連する超距離Cantor集合のHausdorff測度および次元の間の深い関係を確立する。関手$y: \Lambda \to \mathbb{R}_+$を用いて、KMS状態は周期群およびHausdorff測度として生じるBorel確率測度によってパrameter化され、逆温度$\beta$はHausdorff次元$\theta$と$\beta = \theta$の関係にある。主な結果は、Hausdorff測度$H^\theta$がKMS状態測度$\mu_{y,\theta}$と一致し、$\theta$が$y$から導かれる距離を備えた$\Lambda^\infty$のHausdorff次元であるということである。

ABSTRACT

For a finite, strongly connected $k$-graph $Λ$, an Huef, Laca, Raeburn and Sims studied the KMS states associated to the preferred dynamics of the $k$-graph $C^*$-algebra $C^*(Λ)$. They found that these KMS states are determined by the periodicity of $Λ$ and a certain Borel probability measure $M$ on the infinite path space $Λ^\infty$ of $Λ$. Here we consider different dynamics on $C^*(Λ)$, which arise from a functor $y: Λ o \mathbb{R}_+$ and were first proposed by McNamara in his thesis. We show that the KMS states associated to McNamara's dynamics are again parametrized by the periodicity group of $Λ$ and a family of Borel probability measures on the infinite path space. Indeed, these measures also arise as Hausdorff measures on $Λ^\infty$, and the associated Hausdorff dimension is intimately linked to the inverse temperatures at which KMS states exist. Our construction of the metrics underlying the Hausdorff structure uses the functors $y: Λ o \mathbb{R}_+$; the stationary $k$-Bratteli diagram associated to $Λ$; and the concept of exponentially self-similar weights on Bratteli diagrams.

研究の動機と目的

• 一般化されたゲージ作用の下での$k$-図$C^*$-代数におけるKMS状態の構造を理解し、標準的ゲージ作用に関する先行研究を拡張する。
• McNamaraの一般化されたゲージダイナミクスの下でKMS状態が存在する逆温度$\beta$を特定する。
• KMS状態の存在と無限路空間$\Lambda^\infty$のHausdorff次元との間の明確な関係を確立する。
• KMS状態測度が、関手$y: \Lambda \to \mathbb{R}_+$によって誘導される$\Lambda^\infty$上の超距離に伴うHausdorff測度として生じることを示す。
• Hausdorff次元$\theta$が、KMS状態が存在する逆温度$\beta$に等しいことを証明する。

提案手法

• 本稿は、関手$y: \Lambda \to \mathbb{R}_+$と、$\Lambda$に付随する定常$k$-Bratteli図形への自己相似的重み$w_{y,\theta}$を用いて、無限路空間$\Lambda^\infty$上に超距離$d_{y,\theta}$を構成する。
• 重み$w_{y,\theta}(\lambda) = e^{-\theta y(\lambda)} \rho(B(y,\theta))^{-d(\lambda)} \xi^{y,\theta}_{s(\lambda)}$を定義することで、$\Lambda^\infty$上に自己相似的構造を誘導する距離を構成する。
• 超距離Cantor集合上のHausdorff測度の理論を適用し、円柱集合$Z(\lambda)$におけるHausdorff測度$H^\theta$を計算する。その結果、$H^\theta(Z(\lambda)) = \epsilon(\lambda)^\theta$が得られる。
• 重み$w_{y,\theta}$の指数的自己相似性に依拠することで、well-definedなHausdorff次元$\theta$の存在が保証される。
• 群札モデルと擬不変測度を用いて、KMS状態が$\Lambda^\infty$上のBorel確率測度で、ダイナミクスに関して不変であるものによってパrameter化されることを同定する。
• 最後に、KMS状態測度$\mu_{y,\theta}$がHausdorff測度$H^\theta$と一致することを証明し、直接的な測度論的対応を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたゲージ作用の下で、$k$-図$C^*$-代数におけるKMS状態が存在する逆温度$\beta$は何か？
• RQ2 KMS状態は、無限路空間$\Lambda^\infty$上の測度の観点からどのようにパrameter化されるか？
• RQ3 一般化されたゲージダイナミクスの下で、無限路空間$\Lambda^\infty$の幾何学的および測度論的構造は何か？
• RQ4 無限路空間$\Lambda^\infty$のHausdorff次元は、KMS状態の逆温度$\beta$とどのように関係しているか？
• RQ5 KMS状態測度は、関手$y: \Lambda \to \mathbb{R}_+$から導かれる距離を備えた$\Lambda^\infty$上の標準的Hausdorff測度と同一視できるか？
• RQ6 超距離Cantor集合$\Lambda^\infty$のHausdorff次元$\theta$は、KMS状態が存在する逆温度$\beta$に等しいか？

主な発見

• 一般化されたゲージ作用の下でKMS状態が存在する逆温度$\beta$は、距離$d_{y,\theta}$に関して$\Lambda^\infty$のHausdorff次元$\theta$が$\beta$に等しいときに限り成立する。
• KMS状態は$\Lambda$の周期群および$\Lambda^\infty$上のBorel確率測度の族によってパrameter化され、それらが正確にHausdorff測度$H^\theta$に一致することが示された。
• 超距離Cantor集合$(\Lambda^\infty, d_{y,\theta})$のHausdorff次元$\theta$は、自己相似的重み$w_{y,\theta}$の指数に等しく、この$\theta$はKMS状態の存在の臨界逆温度である。
• 無限路空間$\Lambda^\infty$上のHausdorff測度$H^\theta$は、KMS状態測度$\mu_{y,\theta}$と完全に一致する。したがって、すべての円柱集合$Z(\lambda)$に対して$H^\theta(Z(\lambda)) = \mu_{y,\theta}(Z(\lambda)) = \epsilon(\lambda)^\theta$が成り立つ。
• 条件(w-I)または(w-II)の下で、$\Lambda^\infty$の距離$d_{y,\theta}$に関するHausdorff次元は$\theta$であり、この次元がKMS状態の存在を支配する。
• 関手$y: \Lambda \to \mathbb{R}_+$と関連する自己相似的重みを用いた距離$d_{y,\theta}$の構成により、得られる空間はwell-definedなHausdorff構造を持つ超距離Cantor集合であることが保証される。