[論文レビュー] Generalized Greatest Common Divisors for the Orbits under Rational Functions

Keping Huang|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2017

Analytic and geometric function theory被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ヴォイタの予想の下で、2つの多項式の反復の一般化された最大公約数（gcd）に対する条件付き上界を確立する。高さ関数と代数幾何学を用いて、次数$d \geq 2$の多項式による一般の軌道に対して、$\gcd(f^{\circ n}(a)-\alpha, g^{\circ n}(b)-\beta) \leq C \cdot \exp(\varepsilon \cdot d^n)$が成り立つことを証明する。ここで$C$はパラメータに依存し、$\varepsilon > 0$は任意である。

ABSTRACT

Assume Vojta's Conjecture. Suppose $a, b, α,β\in \mathbb{Z}$, and $f(x),g(x) \in \mathbb{Z}[x]$ are polynomials of degree $d \ge 2$. Assume that the sequence $(f^{\circ n}(a), g^{\circ n}(b))_n$ is generic and $α,β$ are not exceptional for $f,g$ respectively, we prove that for each given $\varepsilon > 0$, there exists constant $C = C(\varepsilon,a,b,α,β,f,g)>0$, such that for all $n \ge 1$, we have $$\gcd(f^{\circ n}(a)-α, g^{\circ n}(b) -β) \le C\cdot\exp({\varepsilon\cdot d^n}). $$ We prove an estimate for rational functions and for a more general gcd and then obtain the above inequality as a consequence.

研究の動機と目的

• 累乗写像に対するバジェー＝コルヴァージャ＝ザニエールのgcd上界を多項式動的系へ拡張すること。
• 高さ理論を用いて有理関数の下での軌道に対する一般化されたgcd推定を確立すること。
• 一般性および非例外性の条件下で、反復値のgcdが反復の次数に対して指数関数的にしか増加しないことを証明すること。
• ヴォイタの予想の下で、算術的等差数列を通じて大きなgcdが発生する条件を特定すること。

提案手法

• 銀河のgcd高さフレームワークを動的系に適用し、$\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$のブ lows up 上での高さとしてgcdを解釈する。
• ヴォイタの予想を用いて、適切なゼロ次元のザリスキ閉部分集合の外にある点の高さを上から制御する。
• $f, g$ に対する $\alpha, \beta$ の非例外性条件により分岐を制御する。
• 例外的集合（ここでgcdが大きくなる可能性がある）の構造を解析するために、動的モーデル＝ラング定理を用いる。
• 次数および正規高さの推定を通じて、曲線上の高さ比較に問題を還元する。
• 正規高さ $\hat{h}_f(a)$, $\hat{h}_g(b)$ を用いて、gcdの漸近的成長率を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反復多項式値のgcdがどのようにゆっくりと成長するかの条件は何か？
• RQ2 ヴォイタの予想を用いて、動的軌道における値のgcdを上から制御できるか？
• RQ3 集合 $\gcd(f^{\circ n}(a)-\alpha, g^{\circ n}(b)-\beta)$ が大きいような $n$ の集合の構造は何か？
• RQ4 軌道の一般性がgcdの成長にどのように影響するか？
• RQ5 gcdが最大の指数的成長率 $\exp(\varepsilon d^n)$ に達するのはいつか？

主な発見

• 任意の $\varepsilon > 0$ に対して、定数 $C = C(\varepsilon, a, b, \alpha, \beta, f, g) > 0$ が存在し、すべての $n \geq 1$ に対して $\gcd(f^{\circ n}(a)-\alpha, g^{\circ n}(b)-\beta) \leq C \cdot \exp(\varepsilon \cdot d^n)$ が成り立つ。
• この上界は、$f, g$ が次数 $d \geq 2$ の多項式であり、$a, b, \alpha, \beta \in \mathbb{Z}$ であり、$\alpha, \beta$ が $f, g$ に対して非例外であるという仮定の下で成り立つ。
• $(f^{\circ n}(a), g^{\circ n}(b))_n$ は $\overline{\mathbb{Q}}^2$ で一般であると仮定され、これはザリスキの稠密性と同値である。
• gcdが $\eta \cdot d^n$ の速度で成長するならば、そのような $n$ の集合は有限または有限個の算術的等差数列の和集合である。
• 成長率 $\eta$ が正規高さ比と一致するとき、有限個の算術的等差数列 $J$ に沿って $\lim_{n \to \infty, n \in J} \frac{1}{\eta d^n} \log \gcd = 1$ が成り立つ。
• 結果はヴォイタの予想に依存しており、算術的力学およびディオファントス近似の高度な道具に依存している。