[論文レビュー] Generalized Grover Search Algorithm for Arbitrary Initial Amplitude Distribution

David Biron, Ofer Biham+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 1998

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、初期振幅分布が一様でない場合でも動作するように、グローバーの量子探索アルゴリズムを一般化し、線形差分方程式を用いて振幅の時間発展の正確な解を導出する。主な貢献は、最適測定時刻 T ∼ O(√(N/r)) と、初期振幅の標準偏差にのみ依存する確率の上限であり、グローバー法を一様な初期状態に限定せず拡張する。

ABSTRACT

Grover's algorithm for quantum searching of a database is generalized to deal with arbitrary initial amplitude distributions. First order linear difference equations are found for the time evolution of the amplitudes of the r marked and N-r unmarked states. These equations are solved exactly. An expression for the optimal measurement time T \sim O(\sqrt{N/r}) is derived which is shown to depend only on the initial average amplitudes of the marked and unmarked states. A bound on the probability of measuring a marked state is derived, which depends only on the standard deviation of the initial amplitude distributions of the marked or unmarked states.

研究の動機と目的

• 初期振幅分布が一様でない場合にもグローバーの量子探索アルゴリズムを拡張すること。
• 任意の初期分布におけるマークされた状態とマークされない状態の振幅の時間発展をモデル化すること。
• マークされた状態とマークされない状態の初期平均振幅のみに依存する最適測定時刻 T を導出すること。
• 初期振幅分布の標準偏差にのみ依存する、マークされた状態を測定する成功確率の上限を確立すること。
• 一階線形差分方程式を用いて振幅発展の正確な解析的解を導出すること。

提案手法

• マークされた状態とマークされない状態の振幅の時間発展を記述する一階線形差分方程式を定式化する。
• これらの差分方程式を正確に解き、時間経過に伴う振幅のダイナミクスを追跡する。
• 最適測定時刻 T を T ∼ O(√(N/r)) として表現する。ここで N は全状態数、r はマークされた状態数である。
• 初期振幅分布の標準偏差を用いて、マークされた状態を測定する成功確率の上限を導出する。
• 最適時刻と成功確率が初期平均振幅および分散にどのように依存するかを分析する。
• 初期振幅が一様である場合に一般化されたアルゴリズムが標準グローバーのアルゴリズムに還元されることを示して結果を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グローバーのアルゴリズムにおける最適測定時刻は、非一様な初期振幅分布にどのように依存するか？
• RQ2 初期振幅の標準偏差のみを用いて、マークされた状態を測定する成功確率を上限で抑えられるか？
• RQ3 任意の初期分布におけるマークされた状態とマークされない状態の振幅の正確な時間発展は何か？
• RQ4 初期振幅が非一様な場合でも、一般化されたアルゴリズムは √(N/r) スケーリングを保持するか？
• RQ5 一般化されたアルゴリズムが最大の成功確率を達成する条件は何か？

主な発見

• 最適測定時刻は T ∼ O(√(N/r)) であり、マークされた状態とマークされない状態の初期平均振幅にのみ依存する。
• マークされた状態を測定する確率は、初期振幅分布の標準偏差にのみ依存する関数によって上限で抑えられる。
• 一階線形差分方程式を用いて、振幅発展の正確な解析的解が導出された。
• 初期振幅が一様な場合、一般化されたアルゴリズムは標準グローバーのアルゴリズムに還元される。
• 初期振幅分布の分散が小さい場合、成功確率の上限はよりきつくなる。
• 結果から、√(N/r) スケーリングが非一様な初期振幅分布に対しても有効であることが確認された。