[論文レビュー] Generalized Hölder's inequality on Morrey spaces

Ifronika, Mochammad Idris+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2017

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Morrey空間、弱Morrey空間、一般化Morrey空間、一般化弱Morrey空間における一般化 Hölder の不等式が成り立つための十分かつ必要十分条件を確立する。$\mathbb{R}^d$ 内の球の特性関数を分析することにより、Morrey空間では不等式が成り立つための必要十分条件が $\sum_{i=1}^m \frac{1}{p_i} \geq \frac{1}{p}$ および $\sum_{i=1}^m \frac{1}{q_i} = \frac{1}{q}$ であることが示され、重み関数が倍加性および単調性を満たす一般化されたバージョンに対しても同様の条件が成り立つ。

ABSTRACT

The aim of this paper is to present necessary and sufficient conditions for generalized Hölder's inequality on generalized Morrey spaces. We also obtain similar results on weak Morrey spaces and on generalized weak Morrey spaces. The necessary and sufficient conditions for the generalized Hölder's inequality on these spaces are obtained through estimates for characteristic functions of balls in $\mathbb{R}^d$.

研究の動機と目的

• Morrey空間およびその弱型バージョンにおける一般化 Hölder の不等式が成り立つための十分かつ必要十分条件を同定すること。
• 特定の単調性および倍加性を満たす重み関数を用いて、これらの結果を一般化Morrey空間および一般化弱Morrey空間に拡張すること。
• 異なる関数空間タイプ間で条件を統一し、同じパrameter制約のもとで古典的および弱型不等式が同値であることを示すこと。
• 特性関数のノルム推定を用いて、変動型および一般化されたMorrey型空間における乗法的不等式を分析するフレームワークを提供すること。
• Lebesgue空間における先行研究を、調和解析および偏微分方程式に関連するより広範な関数空間へ一般化すること。

提案手法

• $\mathbb{R}^d$ 内の球上での特性関数の $L^p$ ノルムの推定を用いて、一般化 Hölder の不等式が成り立つための必要十分条件を導出する。
• 重み関数 $\phi(r)$ がほとんど減少的で、倍加条件を満たすという一般化Morrey空間ノルムの定義を適用する。
• 分布関数およびレベル集合を用いて定義される弱Morrey空間の quasi ノルムを用いて、弱型不等式を分析する。
• 特に $f_i = \chi_{\{j \leq |x| \leq j + j^{-\epsilon}\}}$（$j=1,\dots,K$）となるように、アニュラスおよびダイアディックシェルを用いたテスト関数の構成を用いて、必要条件を導出する。
• 一般化Morrey空間において、$\prod_{i=1}^m \phi_i(r) = \phi(r)$ および $r^{\epsilon/p_i}\phi_i(r)$ がほとんど減少的であることを示すことにより、強型と弱型不等式の同値性を確立する。
• 補間および quasi ノルム推定を用いて、積ノルム $\left\| \prod f_i \right\|_{w\mathcal{M}^p_\phi}$ を個々のノルム $\|f_i\|_{w\mathcal{M}^{p_i}_{\phi_i}}$ の形で上界で抑え込む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Morrey空間 $\mathcal{M}^p_q$ において、一般化 Hölder の不等式が成り立つための必要十分条件は何か？
• RQ2 これらの条件は、弱Morrey空間 $w\mathcal{M}^p_q$ および一般化弱Morrey空間 $w\mathcal{M}^p_\phi$ にどのように拡張されるか？
• RQ3 一般化Morrey空間において、不等式の妥当性を特徴付けるために重み関数 $\phi$ および $\phi_i$ が果たす役割は何か？
• RQ4 一般化Morrey空間における強型不等式が弱型不等式を含む条件は何か、逆に弱型不等式が強型不等式を含む条件は何か？
• RQ5 同じパrameter条件 $\sum \frac{1}{p_i} \leq \frac{1}{p}$ および $\sum \frac{1}{q_i} = \frac{1}{q}$ が、これらのすべての空間において強型および弱型 Hölder 不等式を特徴付けることができるか？

主な発見

• Morrey空間 $\mathcal{M}^{p}_{q}$ において、一般化 Hölder の不等式が成り立つのは、$\sum_{i=1}^m \frac{1}{p_i} \leq \frac{1}{p}$ および $\sum_{i=1}^m \frac{1}{q_i} = \frac{1}{q}$ であるとき、かつそのときに限る。
• 弱Morrey空間 $w\mathcal{M}^{p}_{q}$ においても、同じ条件 $\sum \frac{1}{p_i} \leq \frac{1}{p}$ および $\sum \frac{1}{q_i} = \frac{1}{q}$ が、不等式 $\left\| \prod f_i \right\|_{w\mathcal{M}^p_q} \leq m \prod \|f_i\|_{w\mathcal{M}^{p_i}_{q_i}}$ が成り立つための必要十分条件である。
• 一般化Morrey空間 $\mathcal{M}^{p}_{\phi}$ においては、$\sum_{i=1}^m \frac{1}{p_i} \leq \frac{1}{p}$ およびすべての $r>0$ に対して $\prod_{i=1}^m \phi_i(r) = \phi(r)$ が成り立つとき、かつそのときに限り不等式が成り立つ。さらに重み関数に追加の制約が課される。
• 一般化弱Morrey空間 $w\mathcal{M}^{p}_{\phi}$ においては、$\sum_{i=1}^m \frac{1}{p_i} \leq \frac{1}{p}$ が必要十分条件であり、$\phi_i(r)$ がすべての $r>0$ に対して $r^{\epsilon/p_i}\phi_i(r)$ がほとんど減少的であるような $\epsilon>0$ が存在する場合に限る。
• 著者らは、定理4.2で示されるように、提示された条件下で一般化Morrey空間における強型不等式と弱型不等式が同値であることを証明している。
• 証明は、アニュラス上に台を持つテスト関数の構成に依拠し、$K$ および $\epsilon$ を含む漸近的上限を導出し、不等式が一様に有界であるためには $\sum \frac{1}{p_i} \leq \frac{1}{p}$ が成り立つ必要があると結論づけている。