[論文レビュー] Generalized Heisenberg groups and Shtern's question

Michael Megrelishvili|ArXiv.org|Nov 6, 2004

Advanced Banach Space Theory参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、任意のノルム空間 $X$ に対して、一般化ヘイゼンベルク群 $H(X) = (\mathbb{R} \times X) \ltimes X^*$ 内で、部分群 $X$ と $X^*$ が相対的最小であることを確立する。さらに、$G = H(L_4[0,1])$ が反射的表現可能であるが、ヒルベルト空間における弱連続ユニタリ表現が点を分離しないこと——A. シュテンが提起した、このような群の存在に関する問いに答えている。

ABSTRACT

Let H(X) be the generalized Heisenberg group induced by a normed space X. We prove that X is a relatively minimal subgroup of H(X). We show that the group $G:=H(L_4[0,1])$ is reflexively representable but weakly continuous unitary representations of G in Hilbert spaces do not separate points of G. This answers a question of A. Shtern.

研究の動機と目的

• A. シュテンが提起した、弱連続ユニタリ表現が点を分離しない反射的表現可能な位相群の存在に関する問いを解決すること。
• 任意のノルム空間 $X$ に対して、一般化ヘイゼンベルク群 $H(X)$ 内で $X$ と $X^*$ が部分群として相対的最小であることを確立すること。
• $L_p$-空間上の関数の二重極限性質（DLP）を分析し、$H(L_4[0,1])$ 上の特定の関数の弱い almost 平均的性質を検証すること。
• 群 $G = H(L_4[0,1])$ が、弱い almost 平均的だが点を分離しない有界連続関数を用いて反射的表現可能であることを示すこと。
• ユニタリ表現における点の分離の失敗が、$L_4$ と $L_{4/3}$ の双対空間の構造に、DLP およびエーベルシュタイン＝シュムリアンの定理を介して関係していることを示すこと。

提案手法

• 自然な双対性ペアリング $w: X \times X^* \to \mathbb{R}$ を用いて、一般化ヘイゼンベルク群 $H(X) = (\mathbb{R} \times X) \ltimes X^*$ を定義し、群演算を $(r_1,x_1,f_1) \cdot (r_2,x_2,f_2) = (r_1 + r_2 + f_1(x_2), x_1 + x_2, f_1 + f_2)$ とする。
• 商写像 $q: (H(X), \sigma) \to X \times X^*$ の連続性を用いて、$H(X)$ 上の任意のより粗いハウスドルフ群位相が $X$ および $X^*$ 上で元の位相を誘導することを示し、$X$ と $X^*$ の相対的最小性を証明する。
• $G = H(L_4[0,1])$ 上に、恒等元と閉集合を分離する有界連続関数 $\phi(r,x,f) = \frac{1}{1 + |r| + \|x\| + \|f\|}$ を構成する。
• すべての成分関数 $\|f\|$、$\|x\|$、および $f(x)$ に対して、$\phi$ が二重極限性質（DLP）を満たすことを確認することで、$\phi$ が弱い almost 平均的（wap）であることを確立する。
• Shoenbergの結果（$1 \leq p \leq 2$ に対して $f \mapsto e^{-\|f\|^p}$ が $L_p$ 上で正定値）を用い、$\|f\|$ が $L_{4/3}$ 上で DLP を満たすことを確認する。
• Eberlein-Šmulianの定理を適用し、$L_4$ および $L_{4/3}$ 内の有界列から弱収束部分列を抽出し、双対性ペアリングのそれぞれの連続性を用いて、二重極限 $\lim_m \lim_n f_n(y_m) = \lim_n \lim_m f_n(y_m)$ を等しくすることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱連続ユニタリ表現が点を分離しない反射的表現可能な位相群は存在するか？
• RQ2 任意のノルム空間 $X$ に対して、一般化ヘイゼンベルク群 $H(X) = (\mathbb{R} \times X) \ltimes X^*$ 内で、部分群 $X$ と $X^*$ は相対的最小か？
• RQ3 $H(L_4[0,1])$ 上の関数 $\phi(r,x,f) = \frac{1}{1 + |r| + \|x\| + \|f\|}$ は二重極限性質（DLP）を満たすか？ その結果、弱い almost 平均的であると示せるか？
• RQ4 有界列が存在すると仮定した場合、$L_4$ および $L_{4/3}$ 内で二重極限 $\lim_m \lim_n f_n(y_m)$ と $\lim_n \lim_m f_n(y_m)$ が等しくなることを示せるか？
• RQ5 $c_0$ のノルムは、DLP を満たさない唯一の $L_p$-空間ノルムか？ そして、これはユニタリ表現における点の分離の失敗とどのように関係するか？

主な発見

• 任意のノルム空間 $X$ に対して、一般化ヘイゼンベルク群 $H(X) = (\mathbb{R} \times X) \ltimes X^*$ 内で、部分群 $X$ と $X^*$ は相対的最小である。なぜなら、$H(X)$ 上の任意のより粗いハウスドルフ群位相が $X$ および $X^*$ 上で元の位相を誘導するからである。
• 群 $G = H(L_4[0,1])$ は反射的表現可能である。なぜなら、強作用位相における反射的バナッハ空間の等長群への連続埋め込みが存在するからである。
• $G$ 上の関数 $\phi(r,x,f) = \frac{1}{1 + |r| + \|x\| + \|f\|}$ は弱い almost 平均的である。なぜなら、すべての成分関数に対して二重極限性質（DLP）を満たすからである。
• $L_{4/3}$ 上で $\|f\|$ の DLP は、$f \mapsto e^{-\|f\|^{4/3}}$ が $L_{4/3}$ 上で正定値であるため成り立つ。正定値関数は弱い almost 平均的である。
• $L_4$ 上で $\|x\|$ の DLP は、論文の補題3.3.5により成り立つ。この補題は、$1 \leq p \leq 2$ に対して $L_p$ 上のノルムが DLP を満たすことを示している。
• 有界列 $\{x_n\} \subset L_4$ および $\{f_n\} \subset L_{4/3}$ に対して、弱い列コンパクト性と双対性ペアリングのそれぞれの連続性により、二重極限 $\lim_m \lim_n f_n(y_m) = \lim_n \lim_m f_n(y_m)$ が成り立つ。これにより、ペアリング項の DLP が解決される。