[論文レビュー] Generalized Hermitian Codes over GF(2^r)

Stanislav Bulygin|ArXiv.org|Nov 8, 2005

Coding theory and cryptography参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、r ≥ 3 におけるより高い次元のヘルミート関数体への一般化により、GF(2^r) 上の一般化ヘリトゥリアン（GH）符号を導入し、ワイエルシュトラス半群とフェンク＝ラオの境界を用いて、改善されたパラメータを持つ符号を構成する。符号の双対が再びGH符号であることを証明し、GF(8) 上の [32,16,≥12] の新しい符号を提示した。これは最小距離の記録を更新し、GH符号が符号理論における有用性を示している。

ABSTRACT

In this paper we studied generalization of Hermitian function field proposed by A.Garcia and H.Stichtenoth. We calculated a Weierstrass semigroup of the point at infinity for the case q=2, r>=3. It turned out that unlike Hermitian case, we have already three generators for the semigroup. We then applied this result to codes, constructed on generalized Hermitian function fields. Further, we applied results of C.Kirfel and R.Pellikaan to estimating a Feng-Rao designed distance for GH-codes, which improved on Goppa designed distance. Next, we studied the question of codes dual to GH-codes. We identified that the duals are also GH-codes and gave an explicit formula. We concluded with some computational results. In particular, a new record-giving [32,16,>=12]-code over GF(8) was presented.

研究の動機と目的

• r ≥ 3 における GF(2^r) 上のヘリトゥリアン関数体を一般化し、古典的なヘリトゥリアン曲線の構成を拡張すること。
• q=2、r≥3 の場合における GH 関数体の無限遠点におけるワイエルシュトラス半群を特定すること。これは古典的ケースとは異なり、3つの生成子を必要とする。
• リーマン・ロッホ空間を用いて GH 符号を構成し、フェンク＝ラオの設計距離境界を用いてそのパラメータを分析すること。
• GH 符号の双対性を調査し、双対符号が再び GH 符号であることを示すこと。これにより、自己直交性および自己双対性の条件を可能にする。
• GF(8) 上の特定の GH 符号を計算し、Brouwerの表における記録更新の符号を同定すること。

提案手法

• GF(2^r) 上で y^{2^{r-1}} + ... + y = x^{2^{r-1}+2^{r-2}} + ... + x^3 という方程式にヘリトゥリアン曲線を一般化し、GH 関数体と呼ばれる関数体の族を定義する。
• 値論および分岐の理論を用いて、無限遠点 Q∞ が完全に分岐しており、e(Q∞|P∞) = 2^{r-1} であることを示し、x および y の除数次数を計算する。
• リーマン・ロッホ定理を適用し、ワイエルシュトラス半群から導かれる制約条件を満たす単項式 x^i y^j を用いて L(sQ∞) の基底を特定する。
• 微分の理論およびハーツィングの公式を用いて (dx) = (2g−2)Q∞ を計算し、双対性に関する結果の根拠とする。
• Kirfel および Pellikaan の結果を応用し、フェンク＝ラオの設計距離を推定し、ゴッパの境界を上回る。
• 計算代数システム（SINGULAR および GAP）を用いて生成行列を構成し、GF(8) 上の符号の最小距離を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GF(2^r) 上で r ≥ 3 の場合にヘリトゥリアン関数体をどのように一般化できるか。また、これらの一般化された体の構造的性質は何か？
• RQ2 q=2 および r≥3 の場合における GH 関数体の無限遠点におけるワイエルシュトラス半群の構造は何か。古典的ヘリトゥリアンケースとはどのように異なるか？
• RQ3 GH 符号のフェンク＝ラオ設計距離はゴッパの境界を上回ることができるか。最小距離推定にどのような影響を及えるか？
• RQ4 GH 符号の双対符号は再び GH 符号であるか。自己直交性または自己双対性が成立する条件は何か？
• RQ5 計算的手法により GF(8) 上で記録更新の符号を導出できるか。どのようなパラメータを達成するか？

主な発見

• GF(2^r)（r≥3）上における GH 関数体の無限遠点におけるワイエルシュトラス半群は、古典的ヘリトゥリアンケースとは異なり、3つの生成子によって生成される。
• GH 関数体の genus は g = 2^{r-1}(2^{r-1}−1)/2 であり、有理点の数は N = 1 + 2^{2r−1} である。
• GH 符号 GH_s の双対は、GH_s^⊥ = GH_{2^{2r−1} + 2^{r-1}(2^{r-1}−1)−2−s} として、再び GH 符号である。
• GF(8) 上の [32,16,≥12] の新しい符号が構成され、最小距離が少なくとも 12 に達しており、Brouwerの表における以前の記録を更新した。
• k=16 の場合、フェンク＝ラオ設計距離 δ_FR(16) ≥ 12 であり、符号がゴッパの境界を上回る強力な誤り訂正能力を持つことが確認された。
• GF(8) 上の [32,16,≥12] の符号は、最小距離がこれほど高い最初の既知の符号であり、GF(8) 上の線形符号における新たな基準を確立した。