[論文レビュー] Generalized Hitchin systems on rational surfaces

Eric M. Rains|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 42被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、有理的表面における差分方程式の一般化されたヒチン系を構成する。これは、被覆層のモジュライ空間を、対称的楕円的差分方程式のモジュライ空間の幾何的緩和として特定することにより達成される。この研究では、これらの被覆層モジュライ空間がシンプレクティック特異点を解消し、可積分系の幾何的実現を提供することを確立している。具体的には、楕円的カラゴロ・モーザー系の退化や、反標準的曲線を含む有理的表面の対称積のシンプレクティック解消が含まれる。

ABSTRACT

By analogy with work of Hitchin on integrable systems, we construct natural relaxations of several kinds of moduli spaces of difference equations, with special attention to a particular class of difference equations on an elliptic curve (arising in the theory of elliptic special functions). The common feature of the relaxations is that they can be identified with moduli spaces of sheaves on rational surfaces. Not only does this make various natural questions become purely geometric (rigid equations correspond to -2-curves), it also establishes a number of nontrivial correspondences between different moduli spaces, since a given moduli space of sheaves is typically the relaxation of infinitely many moduli spaces of equations. In the process of understanding this, we also consider a number of purely geometric questions about rational surfaces with anticanonical curves; e.g., we give an essentially combinatorial algorithm for testing whether a given divisor is the class of a -2-curve or is effective with generically integral representative.

研究の動機と目的

• ヒチンの可積分系を有理的表面における差分方程式へ一般化すること。
• 被覆層のモジュライ空間を、対称的楕円的差分方程式のモジュライ空間の幾何的緩和として特定すること。
• 被覆層のモジュライを用いて、有理的表面の対称積のシンプレクティック解消を確立すること。
• 剛性を持つ差分方程式における $-2$-曲線の役割を幾何的分類を通じて明確化すること。
• 有理的表面の非可換変形とシンプレクティック解消および可積分系との関係を結ぶこと。

提案手法

• 指定されたチャーン類とオイラー標跡を有する有理的表面における半安定1次元被覆層のモジュライ空間を構成すること。
• 有理的表面における吹き下ろし構造と除数論を用いて、有効かつネフな除数（$-2$-曲線を含む）を分類すること。
• 非アーベルコhomologyを用いて、対称的差分方程式を無限大二面体群の1-コサイクルとしてモデル化すること。
• 元の差分方程式空間のゲージ理論的緩和を通じて、差分方程式のモジュライと被覆層のモジュライを関係させること。
• 被覆層のモジュライ空間が、反標準的曲線を除いた表面の対称積のシンプレクティック解消であることを示すこと。
• ヒルベルトスキームおよび perverse ヒルベルトスキームの構成を用いて、滑らかでない場合のcrepant解消を実現すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称的楕円的差分方程式のモジュライ空間は、どのように有理的表面における幾何的モジュライ問題に緩和されるか？
• RQ2 有理的表面における $-2$-曲線の観点から、楕円的差分方程式における剛性の幾何的意味は何か？
• RQ3 有理的表面における被覆層のモジュライ空間が、反標準的曲線を含む表面の対称積を解消するのはどのような場合か？
• RQ4 有理的表面の非可換変形は、対称冪のシンプレクティック解消とどのように関係するか？
• RQ5 $E_8$格子およびその作用は、有理的表面における一般化されたカラゴロ・モーザー系を構成する際に果たす役割は何か？

主な発見

• $K_X^2 = 0$ を満たす有理的表面における被覆層のモジュライ空間は、反標準的曲線を除いた表面の対称冪のシンプレクティック解消を提供する。
• 与えられた被覆層モジュライ空間は、無限個の差分方程式のモジュライ空間の緩和であるため、深い幾何的対応関係が明らかになる。
• 条件 $A(-q-z) = A(z)^{-1}$ は、対称的解の整合性を保証し、非アーベルコhomologyにおけるコサイクル条件に対応する。
• W が滑らかであれば、モジュライ空間 ${ m M}^{(n)}_X(1)$ は W 上の n 点のヒルベルトスキームに同型であり、crepant解消を提供する。
• W が特異的であれば、モジュライ空間 ${ m M}^{(n)}_X(1)$ は標準的ヒルベルトスキームではなく、 perverse ヒルベルトスキームとして crepant解消を実現する。
• 本構成により、n 階対称冪の楕円的ピオンレーベ方程式の1パラメータ変形が得られ、最近、微分レベルの類似が構成された。