[論文レビュー] Generalized Hodge Metrics and BCOV torsion on Calabi-Yau Moduli

Hao Fang, Zhiqin Lu|ArXiv.org|Oct 1, 2003

Geometry and complex manifolds参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Calabi-Yauモジュライ空間におけるWeil-Petersson計量、一般化されたホッジ計量、およびBCOV torsionの間の新しい関係を確立し、特定の極化されたCalabi-Yauモジュライ空間に完全な部分多様体が存在しないことを証明している。さらに、ホッジ構造の変動からの曲率推定を用いて、非特異なシュワーツ補題を用いてBCOV torsionの複素ヘッシアンがPoincaré計量によって上から有界であることを示している。

ABSTRACT

We establish an unexpected relation among the Weil-Petersson metric, the generalized Hodge metrics and the BCOV torsion. Using this relation, we prove that certain kind of moduli spaces of polarized Calabi-Yau manifolds do not admit complete subvarieties. That is, there is no complete family for certain class of polarized Calabi-Yau manifolds. We also give an estimate of the complex Hessian of the BCOV torsion using the relation. After establishing a degenerate version of the Schwarz Lemma of Yau, we prove that the complex Hessian of the BCOV torsion is bounded by the Poincaré metric.

研究の動機と目的

• Calabi-Yauモジュライ空間におけるWeil-Petersson計量、一般化されたホッジ計量、およびBCOV torsionの間の深い幾何的関係を確立すること。
• 特定の極化されたCalabi-Yauモジュライ空間が完全な部分多様体を含まないことを証明し、これによりこれらのクラスに対して完全な族が存在しないことを示すこと。
• 曲率関係および微分幾何的技法を用いて、BCOV torsion関数の複素ヘッシアンを推定すること。
• ヤウのシュワーツ補題を退化した設定に拡張し、BCOV torsionのヘッシアンをPoincaré計量によって有界化すること。

提案手法

• オイラー特性を通じて、一般化されたホッジ計量の和、BCOV torsionの対数、およびWeil-Petersson計量を結ぶ重要な恒等式を導出する。
• zeta正規化された行列式を用いて、$\bar{\nabla}$-ラプラシアンの行列式を定義し、BCOV torsionをモジュライ空間上の滑らかな関数として定義する。
• 特にホッジ bundle 及びその接続の曲率を含む、ホッジ構造の変動からの曲率公式を適用する。
• 下からのリッチ曲率の下界の下で一般化された最大値原理を用い、BCOV torsionのヘッシアンの成長を制御する。
• BCOV torsionのヘッシアンとPoincaré計量を比較するため、ヤウのシュワーツ補題の退化版を導入する。
• 曲率テンソルおよび$\nabla$-微分の調和成分への分解を用いて、計量成分の2階微分を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Calabi-Yauモジュライ空間上でのWeil-Petersson計量、一般化されたホッジ計量、およびBCOV torsionの関係は何か？
• RQ2 ホッジ理論からの曲率推定を用いて、BCOV torsionの複素ヘッシアンを有界化できるか？
• RQ3 Calabi-Yauモジュライ空間に完全な部分多様体が存在する場合、ホッジ理論から導かれる曲率および計量関係と矛盾するか？
• RQ4 オイラー特性は、BCOV torsionを通じてWeil-Petersson計量と一般化されたホッジ計量を統一する役割を果たすか？
• RQ5 スペクトル不変量（BCOV torsionなど）のヘッシアンを制御するために、退化したシュワーツ補題を定式化し適用できるか？

主な発見

• 本稿は、すべての3つの幾何的対象を結ぶ恒等式$\sum_{i=1}^{n}(-1)^i \omega_{H^i} - \frac{\sqrt{-1}}{2\pi} \partial\bar{\partial} \log T = \frac{\chi_Z}{12} \omega_{WP}$を確立した。
• 原始的Calabi-Yau多様体に対して、ホッジ計量は$\omega_H = (-1)^n \left( \frac{\sqrt{-1}}{2\pi} \partial\bar{\partial} \log T + \frac{\chi_Z}{12} \omega_{WP} \right)$を満たし、直接的な計量的同等性を示している。
• 退化したシュワーツ補題を用いて、BCOV torsionの複素ヘッシアンがPoincaré計量の定数倍によって上から有界であることが示された。
• BCOV torsionのヘッシアンは、計量成分における正定値2次形式によって下から有界であり、非退化条件のもとで厳密に正であることが保証されている。
• BCOV torsionのヘッシアンに一般化された最大値原理を適用することで、BCOV torsionの上界が一様に有界であることが得られ、その成長が制御されることを示した。
• 導出された関係に基づく曲率および計量の制御を根拠に、特定のCalabi-Yauモジュライ空間に完全な部分多様体が存在しないことが証明された。