[論文レビュー] Generalized intelligent states and SU(1,1) and SU(2) squeezing

D. A. Trifonov|ArXiv.org|Jan 10, 2000

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、任意の可観測量 A と B に対してロバートソン＝シュレーディンガー不確定性関係を最小化する量子状態として一般化された知的状態（GIS）を導入し、SU(1,1) および SU(2) のスリクル状態を統一的に扱う枠組みを提供する。主な貢献は、GISが演算子 $ L(\lambda) = \lambda A + iB $ の固有状態であることである。この条件は、連続スペクトルを持つ A に対しては必要かつ十分であり、任意に強いスリクル状態の実現を可能にし、ペレロモフ、バールート＝ギラールデロ、ブロッホのコherent状態をこの形式で統一する。

ABSTRACT

A sufficient condition for a state |ψ> to minimize the Robertson-Schrödinger uncertainty relation for two observables A and B is obtained which for A with no discrete spectrum is also a necessary one. Such states, called generalized intelligent states (GIS), exhibit arbitrarily strong squeezing (after Eberly) of A and B. Systems of GIS for the SU(1,1) and SU(2) groups are constructed and discussed. It is shown that SU(1,1) GIS contain all the Perelomov coherent states (CS) and the Barut and Girardello CS while the Bloch CS are subset of SU(2) GIS.

研究の動機と目的

• 任意の可観測量 A と B に対してロバートソン＝シュレーディンガー不確定性関係を最小化する量子状態を構成する統一的枠組みを構築すること。
• 正準的 Q-P 位相空間を超えて、任意の演算子対に一般化されたスリクル状態の概念を拡張すること。
• SU(1,1) および SU(2) のリー群に対して一般化された知的状態（GIS）を特定および分類すること。
• GIS と既知のコherent状態（ペレロモフ、バールート＝ギラールデロ、ブロッホ状態など）との関係を明確にすること。
• エーベルリの定義に従い、このような状態で任意に強いスリクル状態を達成できる条件を確立すること。

提案手法

• 可観測量 A と B に対してロバートソン＝シュレーディンガー不確定性関係（R-S UR）の等号を達成する状態として一般化された知的状態（GIS）を定義する。
• 状態 $ |\psi\rangle $ が R-S UR を最小化するための必要十分条件が、演算子 $ L(\lambda) = \lambda A + iB $（$ \lambda \in \mathbb{C} $）の固有状態であることの証明を行う。
• 可観測量 A が連続スペクトルを持つ場合、この固有状態条件は十分かつ必要であり、構成の完全性を保証する。
• SU(1,1) の GIS を、$ Q $ と $ P $ で表した生成子を用いて構成し、SU(2) の GIS をスピン演算子 $ J_1, J_2, J_3 $ を用いて構成し、それらの固有状態が $ L(\lambda) $ 条件を満たすことを示す。
• GIS の明示的表現を固有値 $ z_N $ とパrameter $ \lambda $ で導出し、不確定性を最小化することとスリクル状態の性質を確認する。
• 等分散状態を GIS に写像するスリクル操作子 $ S(\lambda) $ が SU(1,1) 群に属することを示し、形式的枠組みと物理的スリクル操作を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で量子状態が二つの可観測量 A と B に対してロバートソン＝シュレーディンガー不確定性関係を最小化するか？
• RQ2 正準的 Q-P 位相空間を超えて、任意の演算子対に対してスリクル状態の概念を一般化できるか？
• RQ3 一般化された知的状態（GIS）は、ペレロモフ、バールート＝ギラールデロ、ブロッホ状態などの既知のコherent状態とどのように関係するか？
• RQ4 演算子 $ L(\lambda) = \lambda A + iB $ は GIS を特徴付ける上で果たす役割は何か？また、この条件が必要かつ十分となるのはいつか？
• RQ5 GIS で任意に強いスリクル状態を達成できるか？その背後にある群論的構造（例：SU(1,1)）は何か？

主な発見

• 一般化された知的状態（GIS）は、ロバートソン＝シュレーディンガー不確定性関係を最小化するための十分条件を提供する演算子 $ L(\lambda) = \lambda A + iB $ の固有状態として定義される。
• 可観測量 A が連続スペクトルを持つ場合、$ L(\lambda) $ の固有状態条件は必要かつ十分であり、GIS の完全な特徴付けが保証される。
• すべてのペレロモフおよびバールート＝ギラールデロのコherent状態は SU(1,1) の GIS の集合に含まれており、ブロッホのコherent状態は SU(2) の GIS の部分集合である。
• SU(1,1) の GIS は、エーベルリの定義に従い、任意に強いスリクル状態を示し、スリクル操作子 $ S(\lambda) $ は SU(1,1) 群に属する。
• SU(2) の GIS は有限個（$ \lambda $ ごとに 2j+1 個）であり、A が離散スペクトルを持つ場合、不確定性を最小化するが $ L(\lambda) $ の固有状態でない例外的な状態が存在する。
• SU(2) の GIS において、$ \tau^2 = 1 $ で分散 $ \sigma_{J_1}^2 $ が消えることから、状態 $ |\tau = \pm 1; -j\rangle $ が $ J_1 $ の固有状態であることが確認され、一般条件 $ \sigma_A = 0 \Leftrightarrow A|\psi\rangle = a|\psi\rangle $ と整合的である。