[論文レビュー] Generalized inverses and polar decomposition of unbounded regular operators on Hilbert $C^*$-modules

Michael Frank, Kamran Sharifi|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2008

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ひとこと要約

この論文は、任意の $C^*$-代数上のヒルベルト $C^*$-加群上の有界でない正則作用素が極分解をもつための必要十分条件を確立している。その条件は、作用素の値域とその絶対値の値域の閉包がそれぞれ正規直交補空間をもつことと同値であり、これは作用素自身とその随伴作用素が両方とも有界でない正則一般逆行列をもつことと同値である。主な貢献は、すべての定密に定義された閉作用素が極分解または一般逆行列をもつような $C^*$-代数を、コンパクト作用素の $C^*$-代数として特徴づけたことである。

ABSTRACT

In this note we show that an unbounded regular operator $t$ on Hilbert $C^*$-modules over an arbitrary $C^*$ algebra $ \mathcal{A}$ has polar decomposition if and only if the closures of the ranges of $t$ and $|t|$ are orthogonally complemented, if and only if the operators $t$ and $t^*$ have unbounded regular generalized inverses. For a given $C^*$-algebra $ \mathcal{A}$ any densely defined $\mathcal A$-linear closed operator $t$ between Hilbert $C^*$-modules has polar decomposition, if and only if any densely defined $\mathcal A$-linear closed operator $t$ between Hilbert $C^*$-modules has generalized inverse, if and only if $\mathcal A$ is a $C^*$-algebra of compact operators.

研究の動機と目的

• ヒルベルト $C^*$-加群上の有界でない正則作用素が極分解をもつための必要十分条件を同定すること。
• 一般逆行列の存在と基礎となる $C^*$-代数の構造的性質との関係を調査すること。
• すべての定密に定義された閉作用素が極分解または一般逆行列をもつような $C^*$-代数を特徴づけること。
• ヒルベルト空間における極分解および一般逆行列に関する既知の結果を、任意の $C^*$-代数上のより一般なヒルベルト $C^*$-加群の設定に拡張すること。

提案手法

• 著者たちは、作用素 $t$ の極分解を、$\operatorname{Ran}(t)$ および $\operatorname{Ran}(|t|)$ の閉包が正規直交補空間をもつという性質を調べることによって分析している。ここで $|t| = (t^*t)^{1/2}$ である。
• 作用素 $t$ が極分解をもつための必要十分条件として、$t$ とその随伴作用素 $t^*$ が両方とも有界でない正則一般逆行列をもつことであることを確立している。
• 証明は、特に閉部分加群が正規直交補空間をもつという性質を用いた、コンパクト作用素の $C^*$-代数の特徴づけに基づいている。
• 著者たちは、乗法的代数の理論、特に双対空間 $\mathcal{A}^{**}$ における開射影の理論を含む、$C^*$-代数における作用素論の結果を用いて、加群の構造的性質と代数的条件 $\mathcal{A}$ の間の関係を結びつけている。
• 有界一般逆行列に関する既知の結果（例えば、有界な随伴可能作用素が有界一般逆行列をもつための必要十分条件はその値域が閉であること）を正則化と双対性を用いて有界でない場合に拡張している。
• 正則作用素の理論とヒルベルト $C^*$-加群における閉値域条件を用いて、極分解の存在と一般逆行列の存在との同値性を導出している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト $C^*$-加群上の有界でない正則作用素が極分解をもつのはどのような条件下か？
• RQ2 一般逆行列の存在と、$t$ および $|t|$ の値域の閉包が正規直交補空間をもつという性質との関係は何か？
• RQ3 どの $C^*$-代数 $\mathcal{A}$ に対して、ヒルベルト $\mathcal{A}$-加群間のすべての定密に定義された閉作用素が極分解をもつのか？
• RQ4 $C^*$-代数 $\mathcal{A}$ の性質（例えばコンパクト作用素の $C^*$-代数であること）が、一般逆行列および極分解の存在に与える影響は何か？
• RQ5 ヒルベルト $C^*$-加群のどの構造的条件が、すべての閉部分加群が正規直交和成分をもつことを保証するのか？

主な発見

• ヒルベルト $C^*$-加群上の有界でない正則作用素 $t$ が極分解をもつための必要十分条件は、$\operatorname{Ran}(t)$ および $\operatorname{Ran}(|t|)$ の閉包が正規直交補空間をもつことである。
• $t$ が極分解をもつことと、$t$ とその随伴作用素 $t^*$ が両方とも有界でない正則一般逆行列をもつことは同値である。
• すべての定密に定義された閉作用素がヒルベルト $C^*$-加群間で極分解をもつための必要十分条件は、基礎となる $C^*$-代数 $\mathcal{A}$ がコンパクト作用素の $C^*$-代数であることである。
• 同じ条件が、すべてのこのような作用素が一般逆行列をもつことと同値である。
• $C^*$-代数 $\mathcal{A}$ がコンパクト作用素の $C^*$-代数であることと、任意のヒルベルト $\mathcal{A}$-加群のすべての閉部分加群が正規直交補空間をもつことは同値である。
• これらの結果は、ヒルベルト空間における既知の事実を、より一般のヒルベルト $C^*$-加群の設定に拡張したものであり、一部の結果はヒルベルト空間の場合でも新規である。