[論文レビュー] Generalized Kähler Einstein metrics and uniform stability for toric Fano manifolds

Satoshi Nakamura|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、トーリックFano多様体上での一般化Kähler-Einstein計量の存在、一様相対Ding安定性、および修正Ding汎関数の正規性の間の完全な同値性を確立する。シンプレクティック幾何学とレジェンドル双対性を用いて、著者らはこれらの条件がすべて、正則不変量 $\alpha_X < 1$ と同値であることを証明し、Kählerモジュライ空間における幾何的不変量理論と汎関数の正規性を用いて、このような計量の存在に関する完全な基準を提示する。

ABSTRACT

We give a complete criterion for the existence of generalized Kähler Einstein metrics on toric Fano manifolds from view points of a uniform stability in a sense of GIT and the properness of a functional on the space of Kähler metrics.

研究の動機と目的

• トーリックFano多様体上での一般化Kähler-Einstein計量の存在に関する完全な基準を確立すること。
• この存在問題を幾何的不変量理論（GIT）における一様安定性に関連付けること。
• このような計量の存在をKähler計量空間上の修正Ding汎関数の正規性に関連付けること。
• トーリックFano多様体に対する一様相対Ding安定性の概念を一般化し、計量の存在とその同値性を証明すること。

提案手法

• レジェンドル双対性を介して、$S^1$-不変なKähler計量をパラメータ化するため、シンプレクティックポテンシャル $u$ とKählerポテンシャル $\phi$ を用いる。
• 修正Ding汎関数を導入し、その正規性が一般化Kähler-Einstein計量の存在と同値であることを証明する。
• 関数 $u$ と線形関数 $l$ を含む汎関数における下界による定義された一様相対Ding安定性条件を適用する。
• 頂点におけるデルタ関数に収束する凸関数の近似列を用いた極限論法により、$\overline{\Delta}$ 上で $l > 0$ であることを示す。
• Berman-Berndtssonの実Monge-Ampère方程式に関する結果を用いて、$l > 0$ から主要方程式 (2.2) の可解性が導かれる。
• 4つの条件の同値性を確立する：計量の存在、$\alpha_X < 1$、一様相対Ding安定性、修正Ding汎関数の正規性。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様相対Ding安定性は、トーリックFano多様体上での一般化Kähler-Einstein計量の存在を意味するか？
• RQ2 修正Ding汎関数の正規性は、このような計量の存在と同値か？
• RQ3 正則不変量 $\alpha_X < 1$ は、安定性および汎関数の正規性によって完全に特徴付けられるか？
• RQ4 一様相対Ding安定性条件は、モーメントポリトープ $\Delta$ の幾何にどのように関係するか？
• RQ5 関数 $l$ は、一般化Kähler-Einstein方程式の可解性において果たす役割は何か？

主な発見

• トーリックFano多様体上に一意に存在するトーリック不変な一般化Kähler-Einstein計量の存在は、$\alpha_X < 1$ と同値である。
• 一様相対Ding安定性（定義3.1）は、一般化Kähler-Einstein計量の存在と同値である。
• 修正Ding汎関数が正規であることは、一般化Kähler-Einstein計量の存在と同値である。
• $\overline{\Delta}$ 上で $l > 0$ であることは、計量を支配する主要方程式 (2.2) の可解性にとって必要かつ十分な条件である。
• 証明により、$\alpha_X < 1 \Rightarrow \text{一様相対Ding安定性} \Rightarrow \text{修正Ding汎関数の正規性} \Rightarrow \text{計量の存在}$ の連鎖的含意が確立される。
• 頂点におけるデルタ関数に収束する近似凸関数 $v_i$ の構成により、極限論法を用いて各頂点 $p$ において $l(p) > 0$ を導くことができる。