[論文レビュー] Generalized Kaehler manifolds with split tangent bundle

Vestislav Apostolov, Marco Gualtieri|ArXiv.org|May 12, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、接束が分解し、誘導された複素構造 $J_+$ と $J_-$ が可換で逆向きの向きをもつコンパクトな一般化されたケーラー四次元多様体を分類する。このような多様体は、すべて正則接束が分解する複素表面であり、完全に分類され、キノコダーラ次元 0 または 1 の複素表面、あるいは特定のホフ表面である。一般化されたケーラー計量の存在は、共形幾何とリー形式の正規化によって明示的に確立される。

ABSTRACT

We study generalized Kaehler manifolds for which the corresponding complex structures commute and classify completely the compact generalized Kaehler four-manifolds for which the induced complex structures yield opposite orientations.

研究の動機と目的

• 接続された複素構造 $J_+$ と $J_-$ が可換で逆向きの向きをもつコンパクトな一般化されたケーラー四次元多様体を分類すること。
• 複素接束 $TM = T_-M \bigoplus T_+M$ による非自明な一般化されたケーラー構造をもつコンパクトな複素表面がどのようなものかを特定すること。
• 共形幾何とリー形式の正規化を用いて、これらの多様体上での一般化されたケーラー計量の存在を確立すること。
• 正則接束が分解する複素表面におけるアンビヘルミート型一般化されたケーラー構造の存在問題を解明すること。

提案手法

• 一般化されたケーラー構造と三重対 $(g, J_+, J_-)$ の等価性を用い、複素構造が可換で $d^c_+F_+ + d^c_-F_- = 0$ を満たす。ここで $F_\bullet = gJ_\bullet$ である。
• $T_{\bullet}M$ が $TM$ の正則で可積分な部分束であるという条件を適用し、$M$ 上に正則なファイブレーション構造が生じることを導く。
• ベイユの正則接束分解に関する予想を用い、$TM$ が分解するための必要十分条件が $M$ が局所的に複素多様体の積で、対角的 $ ho_1(M)$-作用をもつことであることを確認する。
• ゴードゥシュォンの結果を用い、共形類内で $\bar\bd$-閉じた基本形式が存在することを示し、$\theta_{g_0}^{g_0}$ が調和となる標準計量 $g_0$ を構成する。
• $g$ が分解に適合する計量であるとき $\theta_+^g = \theta_-^g$ であるという事実を活用し、$g_0$ を正規化して $\bar\bd(\theta_{g_0}^{g_0}) = 0$ となるようにし、一般化されたケーラー構造が得られることを示す。
• [8], [50], [22] の結果を用い、$b_1(M)$ が偶数または奇数の場合を分類し、モノドロミーと被覆空間の議論により非分解系を除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのコンパクトな複素四次元多様体が、可換な複素構造 $J_+$ と $J_-$ をもつ非自明な一般化されたケーラー構造をもつか？
• RQ2 複素表面の正則接束が二つの正則で可積分な部分束に分解するための必要十分条件は何か？
• RQ3 このような分解接束に対して、$J_+$ と $J_-$ と両方に適合するリーマン計量 $g$ が存在するか？ そのような $g$ が三重対 $(g, J_+, J_-)$ を一般化されたケーラー構造に定めるか？
• RQ4 キノコダーラ次元 0 または 1 の複素表面、あるいはホフ表面が、$J_+$ と $J_-$ が可換で逆向きの向きをもつ場合、一般化されたケーラー計量をもつか？
• RQ5 共形幾何とリー形式の正規化を用いて、このような一般化されたケーラー構造の存在を確立できるか？

主な発見

• 接束が分解し、可換な複素構造 $J_+$, $J_-$ が逆向きの向きをもつコンパクトな一般化されたケーラー四次元多様体は、すべて定理1の6種類 (a)–(f) に分類される。
• 分類にはキノコダーラ次元 0（K3、エヌリクス、一次/二次のキノコダーラ表面）と 1（$b_1$ が偶数または奇数の楕円曲面）の複素表面、および特定のホフ表面が含まれる。
• $b_1(M)$ が偶数の場合、分類はベイユの結果と一致する： $M$ はリーマン面の積、または射影的に平坦なバンドルをもつルールド表面である。
• $b_1(M)$ が奇数の場合、特定のホフ表面（例：$\bbC \times \bbH$ 上で対角的 $\rho_1(M)$-作用をもつもの）のみがこのような構造をもつ。非対角的モノドロミーをもつものは除外される。
• 一般化されたケーラー計量の存在は、共形類 $[g]$ 内に $\bar\bd(\theta_{g_0}^{g_0}) = 0$ を満たす標準計量 $g_0$ を構成することで証明される。これにより三重対 $(g_0, J_+, J_-)$ が一般化されたケーラー条件を満たす。
• このような一般化されたケーラー計量の族は、任意の滑らかな関数の自由度をもつ。これは共形因子の選び方の自由度を反映している。