[論文レビュー] Generalized kappa-Deformations and Deformed Relativistic Scalar Fields on Noncommutative Minkowski Space

Piotr Kosiński, Paweł Maślanka+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2003

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、有限の質量パラメータ $κ$ を持つ $D=4$ 相対論的対称性の一般化された $\kappa$-変形を導入し、任意の変形方向（時間的、空間的、光的）の非可換ミンコフスキー空間を構成する。双不変微分計算とスター積による非局所的可換場理論を発展させ、$\kappa$-変形されたパウリ＝ジョルダン関数を導出し、$\kappa$-変形場理論における光錐行動の変更およびエネルギー運動量の非保存性を示す。

ABSTRACT

We describe the generalized kappa-deformations of D=4 relativistic symmetries with finite masslike deformation parameter kappa and an arbitrary direction in kappa-deformed Minkowski space being noncommutative. The corresponding bicovariant differential calculi on kappa-deformed Minkowski spaces are considered. Two distinguished cases are discussed: 5D noncommutative differential calculus (kappa-deformation in time-like or space-like direction), and 4D noncommutative differential calculus having the classical dimension (noncommutative kappa-deformation in light-like direction). We introduce also left and right vector fields acting on functions of noncommutative Minkowski coordinates, and describe the noncommutative differential realizations of kappa-deformed Poincare algebra. The kappa-deformed Klein-Gordon field on noncommutative Minkowski space with noncommutative time (standard kappa-deformation) as well as noncommutative null line (light-like kappa-deformation) are discussed. Following our earlier proposal (see {1,2]) we introduce an equivalent framework replacing the local noncommutative field theory by the nonlocal commutative description with suitable nonlocal star product multiplication rules. The modification of Pauli--Jordan commutator function is described and the kappa-dependence of its light-cone behaviour in coordinate space is explicitly given. The problem with the kappa-deformed energy- momentum conservation law is recalled.

研究の動機と目的

• 標準的な時間的ケースにとどまらず、対称的計量 $g^{\mu\nu}$ を用いてミンコフスキー空間内での任意のローレンツ的方向への $D=4$ ポアンカレ対称性の $\kappa$-変形を一般化すること。
• $\kappa$-変形ミンコフスキー空間上での双不変微分計算を構築し、5次元（時間的／空間的）および4次元（光的）のケースを区別し、古典的次元性を保つこと。
• 局所的非可換場理論に代えて、非局所的可換スター積フレームワークを用いた非可換場理論の定式化。
• $\kappa$-変形された相対論的スカラー場、特にクライン=ゴルドン場を分析し、$\kappa$-依存のパウリ＝ジョルダン関数を導出すること。
• $\kappa$-変形場理論における標準的エネルギー運動量保存則の破綻と、その摂動的計算への影響を調査すること。

提案手法

• 対称的ローレンツ計量 $g^{\mu\nu}$ を用いて $\kappa$-変形を一般化し、座標変換 $y_\mu = R_\mu^\nu x_\nu$ を通じてミンコフスキー空間内での任意の変形方向を定義する。
• 非可換ミンコフスキー空間を、$[x^\mu, x^\nu] = \frac{i}{\kappa}(\delta_0^\mu x^\nu - \delta_0^\nu x^\mu)$ による交換関係で定義し、古典的コプロダクトとアンチポードを備える。
• 双不変微分計算を構築：時間的／空間的変形では5次元、光的（ヌルプレーン）変形では4次元で、標準的微分 $dx^\mu$ を用いる。
• 非可換関数上に作用する左および右のベクトル場を定義し、非可換微分作用素を用いて $\kappa$-変形ポアンカレ代数を実現する。
• 局所的非可換場理論に代えて、$\kappa$-変形を修正された乗法規則でエンコードするスター積を用いた非局所的可換フレームワークを導入する。
• フーリエ変換と修正ベッセル関数の恒等式を用いて $\kappa$-変形パウリ＝ジョルダン関数を導出し、光錐行動における $\kappa$-依存性を明示的に示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして $D=4$ ポアンカレ対称性の $\kappa$-変形を、標準的な時間的ケースを超えて任意の変形方向へ一般化できるか？
• RQ2 特に光的（ヌルプレーン）ケースにおいて、$\kappa$-変形ミンコフスキー空間上での双不変微分計算の性質は何か、その特徴は何か？
• RQ3 局所的非可換場理論を、スター積を用いた非局所的可換フレームワークにどのように再定式化できるか？
• RQ4 $\kappa$-変形パウリ＝ジョルダン関数の明示的形は何か？また、$\kappa$ は座標空間におけるその光錐行動にどのように影響するか？
• RQ5 $\kappa$-変形は場理論におけるエネルギー運動量保存にどのように影響を及ぼし、フェ Feynman 図の計算にどのような影響を及えるか？

主な発見

• 一般化された $\kappa$-変形により、対称的ローレンツ計量 $g^{\mu\nu}$ を用いてミンコフスキー空間内での任意の変形方向が可能となり、標準的な時間的ケースを拡張する。
• 光的（ヌルプレーン）$\kappa$-変形の場合、双不変微分計算は4次元で、標準的微分 $dx^\mu$ を用い、$r$-行列は古典的ヤン・バクスター方程式を満たす。
• $\kappa$-変形パウリ＝ジョルダン関数は、$\Delta_\kappa(x) \sim \frac{-2\kappa\,\Gamma(1+i\kappa x^0)\cosh(\frac{\pi}{2}\kappa x^0)}{(2\pi)^2\sqrt{1+\frac{m^2}{\kappa^2}}\,|\vec{x}|(\kappa|\vec{x}|)^{1+i\kappa x^0}}$ として導出され、光錐行動における $\kappa$-依存性が明示的に示されている。
• $\kappa$-変形場理論におけるエネルギー運動量保存は、非局所的条件 $\delta(\Delta^{(n)}_\mu(p^{(1)},\dots,p^{(n)}))$ に置き換えられ、ここで $\Delta^{(n)}_\mu$ は運動量の非自明関数である。
• このフレームワークにより、非可換構造をエンコードするスター積を用いた非局所的可換記述が可能となり、一貫性のある場の量子化が可能となる。
• $\Phi^4$ 理論における $\kappa$-変形フェ Feynman propagator と自己エネルギー図は、UV/IR 混合を示すと予想され、現在、正規化の検討が進行中である。