[論文レビュー] Generalized Kenmotsu Manifolds

Aysel Turgut Vanlı, Ramazan Sarı|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$(2n+s)$次元の$s$-接触計量多様体上で定義された、ケンモツ多様体の高次元拡張としての一般化ケンモツ多様体を導入する。任意のほぼ$s$-接触計量多様体が一般化ケンモツ多様体であるための必要十分条件を確立し、その多様体が局所的にワーペッド積空間であることを証明し、半対称または射影的半対称な曲率条件の下で$\varphi$-断面曲率が$-s$であることを示している。

ABSTRACT

In 1972, K. Kenmotsu studied a class of almost contact Riemannian manifolds. Later, such a manifold was called a Kenmotsu manifold. This paper, we studied Kenmotsu manifolds with $(2n+s)$-dimensional $s-$contact metric manifold and this manifold, we have called generalized Kenmotsu manifolds. Necessary and sufficient condition is given for an almost $s-$contact metric manifold to be a generalized Kenmotsu manifold.We show that a generalized Kenmotsu manifold is a locally warped product space. In addition, we study some curvature properties of generalized Kenmotsu manifolds. Moreover, we show that the $φ$% -sectional curvature of any semi-symmetric and projective semi-symmetric $% (2n+s)$-dimensional generalized Kenmotsu manifold is $-s$.

研究の動機と目的

• ケンモツ多様体を$(2n+1)$次元の場合から、$s > 1$ である高次元の$s$-接触計量多様体へ一般化すること。
• ほぼ$s$-接触計量多様体が一般化ケンモツ多様体であるための必要十分条件を同定すること。
• 一般化された設定における曲率性質、特にリッチ曲率および断面曲率を調査すること。
• 一般化ケンモツ多様体が局所的にワーペッド積空間であることを確立すること。
• 半対称または射影的半対称な曲率条件の下での$\varphi$-断面曲率を特定すること。

提案手法

• $\varphi$、$\xi_i$、$\eta^i$、$g$を含む構造的恒等式を導出するために、リーマン接続$\nabla$と曲率テンソル$R$を用いる。
• 一般化ケンモツ多様体を、ケンモツの元の式に類似した修正された曲率条件を満たす$(2n+s)$次元の$s$-接触計量多様体として定義する。
• ニエンイユスねじれとテンソル場$N^1$、$N^2$を用いて、正規性および可積分性条件を特徴付ける。
• 一般化された構成を検証するモデル例として、ワーペッド積構造$L^s \times_f V^{2n}$を用いる。
• リーマン曲率テンソルとウェイリープロジェクティブテンソルを用いて、半対称および射影的半対称な曲率条件を分析する。
• リッチテンソル$S$、$\nabla S$、および$\eta$-平行性を含むテンソリアル恒等式を導出し、操作することで曲率制約を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ほぼ$s$-接触計量多様体が一般化ケンモツ多様体であるための必要十分条件は何か？
• RQ2 一般化ケンモツ多様体の曲率構造は、標準ケンモツ多様体のそれとどのように異なるか？
• RQ3 一般化ケンモツ多様体が局所的にワーペッド積空間であるのはどのような条件下か？
• RQ4 半対称および射影的半対称な一般化ケンモツ多様体における$\varphi$-断面曲率の値は何か？
• RQ5 一般化ケンモツ多様体においてリッチテンソルが$\eta$-平行となるのはいつか、そしてこれは曲率にどのような意味を持つのか？

主な発見

• ほぼ$s$-接触計量多様体が一般化ケンモツ多様体であるための必要十分条件は、$\nabla\varphi$、$d\Phi$、およびニエンイユスねじれを含む特定の曲率恒等式によって与えられる。
• 一般化ケンモツ多様体は、$f(t) = ce^t$ であるとき、局所的にワーペッド積空間$L^s \times_f V^{2n}$に等長である。
• 任意の半対称な$(2n+s)$次元の一般化ケンモツ多様体の$\varphi$-断面曲率は正確に$-s$である。
• 任意の射影的半対称な$(2n+s)$次元の一般化ケンモツ多様体の$\varphi$-断面曲率もまた$-s$である。
• リッチ半対称な一般化ケンモツ多様体は、$S(X,Y) = -2n\{s g(\varphi X, \varphi Y) + \sum_{i,j=1}^s \eta^i(X)\eta^j(Y)\}$ を満たし、$s=1$ のときアインシュタイン構造を示す。
• $s=1$ のとき、射影的半対称なケンモツ多様体がアインシュタインであるための必要十分条件は、その$\varphi$-断面曲率が$-1$ であることである。