[論文レビュー] Generalized Kloosterman Sums from M2-branes

João Gomes|arXiv (Cornell University)|May 11, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、M理論におけるM2-braneから得られる一般化されたクロスターマン和のホログラフィック導出を、$χ=4$ ストリング理論における1/4 BPSブラックホールへと拡張し、$AdS_2 \times S^1$ の $χ_c$ オルビフォールド上のM理論経路積分から、モックヤコビ形式のラデマッハ展開が生じることを示している。主な結果は、局在化とゲージ理論を用いたバルク計算により、スペクトルフロー項や極状態の寄与を含む、完全な一般化されたクロスターマン和の構造が再現されることである。

ABSTRACT

Kloosterman sums play a special role in analytic number theory, for expressing the integer Fourier coefficients of modular forms as an infinite sum of Bessel functions, also known as Rademacher formula. The generalization to vector-valued modular forms is known as generalized Kloosterman sums. In the paper arxiv:1404.0033, a remarkable connection between these arithmetic sums and quantum black hole entropy was found. Nevertheless, the computation was particular for one-eighth BPS black holes in $\mathcal{N}=8$ string theory, which have a simple counting formula. Here, we review this construction and extend it to the case of one-quarter BPS black holes in $\mathcal{N}=4$ string theory, which are counted by (mock) Jacobi forms of arbitrary index. The main result is an holographic derivation of the Kloosterman sums which includes the intricate sum over phases and depends exactly on the spectral flow sectors and the spectrum of polar states. On the microscopic side we derive an analytic formula for the Kloosterman sums valid for any index, whereas from the macroscopic side we reproduce the same formula from the M-theory path integral on $\mathbb{Z}_c$ orbifolds of $AdS_2 imes S^1$. A key aspect of the derivation is the identification of the spectral flow sectors with the contribution of M2 branes wrapping cycles on the compactification manifold. After a careful treatment of the measure, the sum over orbifolds results in the sum over Bessels, in perfect agreement with the Rademacher expansion at any order in perturbation theory.

研究の動機と目的

• 1/8 BPSブラックホールから1/4 BPSブラックホールへ、$χ=4$ ストリング理論における一般化されたクロスターマン和のホログラフィック導出を拡張すること。
• 1/4 BPSブラックホールのモックヤコビ形式の任意のインデックスに対する一般化されたクロスターマン和を、$AdS_2 \times S^1$ の $χ_c$ オルビフォールド上のM理論経路積分を用いて導出すること。
• 境界CFTにおけるスペクトルフロー項を、コンactification多様体上の非自明なサイクルを回るM2-braneに同定すること。
• マクロな経路積分から、すべての摂動的順序でラデマッハ展開を再現し、ミクロ的解析的公式と一致させること。

提案手法

• 超重力における局在化技術を用いて、$χ=4$ ストリング理論における1/4 BPSブラックホールの量子エントロピーを計算する。
• オルビフォールド化が平坦接続からのトポロジカル寄与に対応する、$AdS_2 \times S^1$ の $χ_c$ オルビフォールド上のM理論経路積分を評価する。
• 境界CFTにおけるスペクトルフロー項を、コンパクト化多様体上の非自明なサイクルを回るM2-braneに同定する。
• 平坦接続の寄与を計算するためのチャーン・サイモンズ理論を適用し、一般化されたクロスターマン和に現れる指数関数的位相を導出する。
• ガウスの相互法則を用いて、モジュラーパラメータに関する和を簡略化し、得られた和のモジュラー不変性を検証する。
• バルク経路積分から、行列 $M(\gamma)_{\mu\nu}$ や極状態依存性を含む完全な一般化されたクロスターマン和の構造を導出し、ミクロ的公式と一致させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のインデックスを持つモックヤコビ形式の一般化されたクロスターマン和は、$χ=4$ ストリング理論におけるバルクM理論計算からどのように導出可能か？
• RQ2 スペクトルフロー項は、$AdS_2 \times S^1$ のオルビフォールド上のバルクM理論経路積分において果たす役割は何か？
• RQ3 コンパクト化多様体上のサイクルを回るM2-braneは、ブラックホールエントロピーにおける非摂動的補正にどのように寄与するか？
• RQ4 1/4 BPSブラックホールのラデマッハ展開は、$χ_c$ オルビフォールド上のM理論経路積分から再現可能か？
• RQ5 バルク経路積分におけるオルビフォールドの和は、ラデマッハ展開におけるベッセル関数の和をどのように再現するか？

主な発見

• 任意のインデックスを持つモックヤコビ形式の一般化されたクロスターマン和は、$AdS_2 \times S^1$ の $χ_c$ オルビフォールド上のM理論経路積分からホログラフィックに再現された。
• 境界CFTにおけるスペクトルフロー項は、コンパクト化多様体上の非自明なサイクルを回るM2-braneに同定された。
• バルク経路積分におけるオルビフォールドの和は、ベッセル関数の和に一致し、摂動論的すべての順序でラデマッハ展開が再現された。
• オルビフォールド上のチャーン・サイモンズ作用から得られる測度と位相構造は、行列 $M(\gamma)_{\mu\nu}$ や極状態依存性を含む完全な一般化されたクロスターマン和を再現した。
• 導出結果は、一般化されたクロスターマン和の構造が、(モック)ヤコビ形式のモジュラー変換性に起因することを確認した。これは形式の具体的な詳細に依存しない。
• 最終的な結果は、ミクロ的解析的公式と一致し、$χ=4$ ストリング理論における1/4 BPSブラックホールのホログラフィック計算が正当化された。