[論文レビュー] Generalized Krein algebras and asymptotics of Toeplitz determinants

Alexei Yu. Karlovich, Karlovich, Alexei+1 more|ArXiv.org|Dec 18, 2006

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$0 < \lambda = 1/p + 1/q = \alpha + \beta < 1$ の範囲において、一般化されたクレイン代数 $K_{p,q}^{\beta,\beta}$ の理論を拡張し、それらがバナッハ代数としての構造を持つことを確立し、ブロックトーペリッツ行列式の漸近公式の導出に応用する。主な貢献は、これらの代数に属する記号に対して、ウィーナー＝ホプフ因子分解とハンケル作用素のシュレーディン＝フォンノイマンクラスの推定を用いて、新しい形のシュレーディン＝ウィドム極限定理の証明である。

ABSTRACT

We give a survey on generalized Krein algebras $K_{p,q}^{α,β}$ and their applications to Toeplitz determinants. Our methods originated in a paper by Mark Krein of 1966, where he showed that $K_{2,2}^{1/2,1/2}$ is a Banach algebra. Subsequently, Widom proved the strong Szegő limit theorem for block Toeplitz determinants with symbols in $(K_{2,2}^{1/2,1/2})_{N imes N}$ and later two of the authors studied symbols in the generalized Krein algebras $(K_{p,q}^{α,β})_{N imes N}$, where $λ:=1/p+1/q=α+β$ and $λ=1$. We here extend these results to $0

研究の動機と目的

• 古典的クレイン代数 $K_{2,2}^{1/2,1/2}$ を $\lambda = \alpha + \beta < 1$ であるより広いクラス $K_{p,q}^{\alpha,\beta}$ に一般化すること。
• 適切な作用素ノルムの下で、これらの一般化された代数がバナッハ代数であることを確立すること。
• ブロックトーペリッツ行列式の強いシュレーディン＝ウィドム極限定理を、$0 < \lambda < 1$ における $K_{p,q}^{\alpha,\beta}$ に属する記号へと拡張すること。
• これらの代数におけるウィーナー＝ホプフ因子分解を用いて、トーペリッツ作用素のフレドホルム性および可逆性の十分条件を提供すること。
• 一般化された代数設定下でのハンケル作用素の積のシュレーディン＝フォン・ノイマンクラスへの属する性質を分析すること。

提案手法

• ハンケル作用素 $H(a)$ および $H(\widetilde{a})$ がシュレーディン＝フォン・ノイマンクラス $\mathcal{C}_p(H^2)$ および $\mathcal{C}_q(H^2)$ に属するという条件によって、$L^\infty(\mathbb{T})$ の部分代数として一般化クレイン代数 $K_{p,q}^{\alpha,\beta}$ を定義する。
• バナッハ代数構造を保証するために、$L^\infty$ ノルムとハンケル作用素のシュレーディンノルムを組み合わせたノルムを代数に導入する。
• リエス射影およびフラップ作用素 $J$ を用いて、$H(a)$ と $H(\widetilde{a})$ をそれぞれ $PM(a)QJ$ および $JQM(a)P$ として定義する。
• トーペリッツ作用素 $T(a)$ のフレドホルム性を確立する。$a \in GK_{N\times N}$ であることと、$a$ が $C+H^\infty$ および $C+\overline{H^\infty}$ で可逆であることとは同値であることを示す。
• $K_{N\times N}$ におけるウィーナー＝ホプフ因子分解を用いて、$a = u_- d u_+$ と分解し、$u_\pm \in G(K_\pm)_{N\times N}$ とし、フレドホルム条件の下で $d=1$ であることを保証する。
• 補間およびローレンツ空間推定（定理 4.9 を用いて）により、積 $H(\widetilde{c})H(b)$ が $\mathcal{C}_r(H^2)$ に属することを示し、$1/r = 1/p + 1/q$ となる。これにより、最終的な漸近的結果が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\lambda = \alpha + \beta < 1$ である一般化クレイン代数に属する記号に対して、ブロックトーペリッツ行列式の強いシュレーディン＝ウィドム極限定理を拡張することは可能か？
• RQ2 どの程度の $p,q,\alpha,\beta$ の条件下で、一般化クレイン代数 $K_{p,q}^{\alpha,\beta}$ が定義されたノルムに関してバナッハ代数となるか？
• RQ3 ハンケル作用素 $H(a)$ および $H(\widetilde{a})$ のシュレーディン＝フォン・ノイマンクラスの性質は、$K_{N\times N}$ 内の $a$ のウィーナー＝ホプフ因子分解とどのように関係するか？
• RQ4 $b,c \in K_{p,q}^{\alpha,\beta}$ のとき、積 $H(\widetilde{c})H(b)$ の正確なシュレーディンクラスへの属する性質は何か？また、$\lambda = 1/p + 1/q$ にどのように依存するか？
• RQ5 フレドホルム性を持つブロックトーペリッツ作用素 $T(a)$ に対して、$\lambda < 1$ の下で、$a$ の $K_{N\times N}$ 内での可逆性と等価であるか？

主な発見

• 一般化クレイン代数 $K_{p,q}^{\alpha,\beta}$ は、$\lambda = \alpha + \beta < 1$ において、ノルム $\|a\| = \|a\|_{L^\infty} + \|H(\widetilde{a})\|_{\mathcal{C}_p} + \|H(a)\|_{\mathcal{C}_q}$ の下でバナッハ代数である。これは、$p=q=2$ の場合のクレインの元の結果を拡張する。
• $a \in K_{p,q}^{\alpha,\beta}$ のとき、$a$ の $K_{N\times N}$ 内での可逆性は、$a$ が $C+H^\infty$ および $C+\overline{H^\infty}$ で可逆であることと同値であり、これにより $T(a)$ のフレドホルム性が保証される。
• $b,c \in K_{p,q}^{\alpha,\beta}$ かつ $\lambda = \alpha + \beta \in (0,1)$ のとき、ハンケル作用素の積 $H(\widetilde{c})H(b)$ および $H(b)H(\widetilde{c})$ は、シュレーディン＝フォン・ノイマンクラス $\mathcal{C}_r(H^2)$ に属し、$1/r = 1/p + 1/q$ を満たす。
• ブロックトーペリッツ行列式の強いシュレーディン＝ウィドム極限定理は、$\lambda < 1$ における $K_{N\times N}$ に属する記号に対して成り立つ。条件を満たす下で、行列式は $\exp\left(\sum_{k=1}^N \sum_{j=1}^\infty \frac{1}{j} \operatorname{tr}(\widehat{a}_j \widehat{a}_{-j}) \right)$ に漸近する。
• ウィーナー＝ホプフ因子分解 $a = u_- d u_+$ が $K_{N\times N}$ 内で成り立つとき、フレドホルム条件の下で $d=1$ である。また、因子分解の要素 $u_\pm$ は $K_\pm$ 内で可逆であり、正則化された行列式公式 (1.13) が成り立つ。