[論文レビュー] Generalized Krein formula and determinants for even dimensional Poincare-Einstein manifolds

Colin Guillarmou|ArXiv.org|Dec 8, 2005

Geometry and complex manifolds参考文献 35被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、非コンpakto な幾何的性質を有する無限体積の偶数次元 Poincaré-Einstein多様体に対して、一般化された Birman-Krein 理論を展開する。正則化されたスペクトル関数 $\xi(z)$ と散乱作用素の正則化行列式 $\det S_X(\lambda)$ を導入し、$\det S_X(\lambda)$ がリーマン面の極と零点が共形ラプラシアンの核に結びつくように、$\lambda$ に関してメロモルフィックであることを確立する。さらに、セリンのゼータ関数 $Z(\lambda)$ と $\det S_X(\lambda)$ を結ぶ関数方程式を示し、$\xi(z)$ の鋭い Weyl 渐近展開を導出する。

ABSTRACT

For a class of even dimensional conformally compact manifolds (X,g), we define a generalized Krein spectral function by applying a renormalized trace functional to the spectral measure of the Laplacian. We then show that this is the phase of the Kontsevich-Vishik determinant det S(s) of the scattering operator S(s) of (the Laplacian of) g and we analyze the divisors of det(S(s)). As an application for convex co-compact hyperbolic quotients, we obtain a functional equation for Selberg's Zeta function Z(s), we express the determinant of the GJMS conformal Laplacians of the conformal infinity of (X,g) in term of particular values of Z(s), and we show a sharp Weyl type asymptotic for the Krein function.

研究の動機と目的

• 無限体積で、非コンパクトな幾何的性質を有する偶数次元の漸近的に双曲的多様体への Birman-Krein 理論の拡張。
• 無限体積設定における固有値数関数の一般化である正則化スペクトル関数 $\\xi(z)$ の定義。
• 共形無限界上での散乱作用素の正則化行列式 $\det S_X(\lambda)$ の構成。
• セリンのゼータ関数 $Z(\lambda)$ と散乱行列式を結ぶ関数方程式の確立により、スペクトル的およびトポロジカルなデータを明らかにする。
• 散乱行列式 $\det S_X(\frac{n}{2} + iz)$ の位相と関連して、スペクトル関数 $\xi(z)$ の鋭い Weyl 渐近展開を導出する。

提案手法

• バルク多様体 $X$ 上に正則化されたトレースを導入し、リゾルベントのトレースの正則化によりスペクトル関数 $\xi(z)$ を定義する。
• コンツェビッチ＝ビシャーク正則化を用いて、共形境界 $\partial\bar{X}$ 上での散乱作用素 $S_X(\lambda)$ の行列式を定義する。
• 共形無限界付近でのグリーン関数の漸近展開を用いて、積分における発散を扱い、正則化されたトレースを定義する。
• 散乱作用素 $S_X(\lambda)$ を共形境界 $\partial\bar{X}$ 上の擬微分作用素として構成し、そのスペクトルデータを多様体 $X$ の幾何に結びつける。
• $\det S_X(\lambda)$ が $\lambda$ に関してメロモルフィックであることを証明し、その極と零点がリーマン面の重複度および GJMS 作用素 $P_k$ の核の次元に対応することを示す。
• 凸的コンパクトな商 $X = \Gamma \backslash \mathbb{H}^{n+1}$ に対して、関数方程式 $Z(\lambda)/Z(n - \lambda) = (\det S_{\mathbb{H}^{n+1}}(\lambda))^{\chi(X)}/\det S_X(\lambda)$ が成り立つことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン面の連続スペクトルを持つ無限体積の偶数次元漸近的に双曲的多様体において、Birman-Krein 理論をどのように一般化できるか。
• RQ2 有限ランクの散乱作用素が存在しない状況下で、散乱行列式 $\det S_X(\lambda)$ の正しい正則化は何か。
• RQ3 セリンのゼータ関数 $Z(\lambda)$ の極と零点は、散乱作用素のスペクトル的およびトポロジカルなデータとどのように関係するか。
• RQ4 偶数次元において、セリンのゼータ関数と散乱行列式を統一する関数方程式を導出可能か。
• RQ5 スペクトル関数 $\xi(z)$ の漸近的挙動は何か。また、$\det S_X(\frac{n}{2} + iz)$ の位相とどのように関連するか。

主な発見

• 正則化行列式 $\det S_X(\lambda)$ は $\lambda$ に関してメロモルフィックであり、その極と零点は共形境界上でのリーマン面の重複度および GJMS 作用素 $P_k$ の核の次元に対応する。
• スペクトル関数 $\xi(z)$ は本質的スペクトル $\mathbb{R}^+$ 上で $\det S_X(\frac{n}{2} + iz)$ の位相として特定され、散乱データと直接的に結びつく。
• 凸的コンパクトな商 $X = \Gamma \backslash \mathbb{H}^{n+1}$ に対して、関数方程式 $Z(\lambda)/Z(n - \lambda) = (\det S_{\mathbb{H}^{n+1}}(\lambda))^{\chi(X)}/\det S_X(\lambda)$ が成り立ち、ゼータ関数と散乱行列式を結ぶ。
• GJMS 作用素 $P_k$ の行列式は $\det P_k = Z(\frac{n}{2} - k)/Z(\frac{n}{2} + k)$ として計算され、ゼータ関数の値にスペクトル的解釈を与える。
• $\xi(z)$ の鋭い Weyl 渐近展開が確立され、$z \to \infty$ のとき $\xi(z) \sim c z^n$ となることが示され、明示的な定数は多様体 $X$ の幾何から導出される。
• 散乱作用素の対数的特異点の正則化されたトレースは、角度変数における奇対称性により消えるため、正則化手続きの整合性が保証される。